Gauss-módszerrel hogyan oldható meg a következő? (lépésről-lépésre ha kérhetném)

Egyrészt át is rendezheted a sorokat, csak mondjuk ha felcseréled az első kettőt, akkor x1 és x2 is fordítva lesz. De ezt hagyjuk, mert nehogy belebonyolódjunk.

A legkevesebb gondolkodást igénylő dolog, az, ha az első sort elosztod 5-tel. Akkor a bal felső 1 lesz, de bejönnek törtek. Viszont sok minden mást is csinálhatsz, pl. hozzáadod a második sor 4-szeresét az elsőhöz, és onnan folytatod.

Megy a folytatás?

Bocsánat, hogy belebeszélek. Én kézzel mindig elrontom valahol, ezért megpróbáltam GeoGebrával. Ha megnéznétek, hogy jó-e ez:

[link]

Köszönöm ha véleményt mondatok.

Jó, persze. Nem is tudtam, hogy a GeoGebra tud ilyet is. :)

De azt hiszem, ez a kérdezőnek nem segít, legalábbis az a gyanúm, kézzel kell csinálnia a Gauss eliminációt.

A kérdezőnek: sikerült, vagy kell még segítség?

Ami tippet írtam, azzal ilyenné alakul egy lépéssel a mátrix:

1 5 8 2 || 27

-1 1 1 1 || 6

-8 2 -1 -1 || -3

0 1 2 3 || 14

Aztán az első sort hozáadjuk a másodikhoz, valamint az első sor 8-szorosát a harmadikhoz:

1 5 8 2 || 27

0 6 9 3 || 33

0 42 63 15 || 213

0 1 2 3 || 14

Megint lehet trükközni, hogy ne legyenek törtek: az utolsó sor 5-szörösét kivonjuk a második sorból:

1 5 8 2 || 27

0 1 -1 -12 || -37

0 42 63 15 || 213

0 1 2 3 || 14

A második 42-szeresét kivonjuk a harmadikból, meg a második sort kivonjuk a negyedikből:

1 5 8 2 || 27

0 1 -1 -12 || -37

0 0 105 519 || 1767

0 0 3 15 || 51

Most már nem megy a hasonló trükk. Mondjuk először vonjuk ki az utolsó sor 34-szeresét a harmadikból:

1 5 8 2 || 27

0 1 -1 -12 || -37

0 0 3 9 || 33

0 0 3 15 || 51

Aztán osszuk el a harmadik sort 3-mal:

1 5 8 2 || 27

0 1 -1 -12 || -37

0 0 1 3 || 11

0 0 3 15 || 51

A harmadik sor 3-szorosát vonjuk ki az utolsóból:

1 5 8 2 || 27

0 1 -1 -12 || -37

0 0 1 3 || 11

0 0 0 6 || 18

Osztva 6-tal:

1 5 8 2 || 27

0 1 -1 -12 || -37

0 0 1 3 || 11

0 0 0 1 || 3

Ezzel a lépcsős alak kész.

Most már sokkal egyszerűbb lesz a redukált lépcsős alak: Visszafelé kel menni, először az utolsó sor 3 szorosát kivonni az utolsó előttiből, 12-szeresét hozzáadni a másodikhoz, kétszeresét levonni az elsőből:

1 5 8 0 || 21

0 1 -1 0 || -1

0 0 1 0 || 2

0 0 0 1 || 3

A harmadik sort hozzáadjuk a másodikhoz, illetve 8-szorosát levonjuk az elsőből:

1 5 0 0 || 5

0 1 0 0 || 1

0 0 1 0 || 2

0 0 0 1 || 3

Végül a második sor 5-szörösét vonjuk ki az elsőből:

1 0 0 0 || 0

0 1 0 0 || 1

0 0 1 0 || 2

0 0 0 1 || 3

Kész.

Tehát a megoldás: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3

Nem rossz, amit írtam, de feleslegesen elbonyolítottam, elnézést. Látszik, hogy nem szoktam Gauss-eliminálni...

Szóval nyugodtan fel lehet cserélni két sort, attól nem változik meg semmi sem. Hisz ez a mátrix valójában az egyenletrendszer egy az egyben, és ott sem okoz semmit, ha más sorrendben írjuk fel az egyenleteket. (Két oszlopot sem lehetetlen felcserélni, de akkor lenne az az x1-x2 csere, amit fent írtam.)

Valószínű a kavarodást a fejemben az okozta, hogy a mátrix determinánsánál ha felcerélünk két sort (vagy oszlopot), akkor negálódik a determináns. Magánál az eliminációnál viszont nincs ilyen, a sorokat lehet csereberélni.

Szóval egyszerűbb megoldás:

Cseréljük fel az első és második sort, és szorozzuk meg az új elsőt -1-gyel:

1 -1 -1 -1 || -6

5 1 4 -2 || 3

-8 2 -1 -1 || -3

0 1 2 3 || 14

Az új másodikat is cseréljük az utolsóval:

1 -1 -1 -1 || -6

0 1 2 3 || 14

5 1 4 -2 || 3

-8 2 -1 -1 || -3

Első 5-szöröse a harmadikból levonva, 8-szorosa a negyedikhez hozzáadva:

1 -1 -1 -1 || -6

0 1 2 3 || 14

0 6 9 3 || 33

0 -6 -9 -9 || -51

A harmadik meg a negyedik sort is osszuk el 3-mal, hogy kisebbek legyenek a számok:

1 -1 -1 -1 || -6

0 1 2 3 || 14

0 2 3 1 || 11

0 -2 -3 -3 || -17

Második dupláját vonjuk le a harmadikból és adjuk hozzá a negyedikhez:

1 -1 -1 -1 || -6

0 1 2 3 || 14

0 0 -1 -5 || -17

0 0 1 3 || 11

Harmadikat adjuk a negyedikhez, aztán negáljuk:

1 -1 -1 -1 || -6

0 1 2 3 || 14

0 0 1 5 || 17

0 0 0 -2 || -6

Ezzel már lépcsős alakú lett a mátrix. Az utolsót osszuk -2-vel, hogy redukált lépcsős alak legyen:

1 -1 -1 -1 || -6

0 1 2 3 || 14

0 0 1 5 || 17

0 0 0 1 || 3

Aztán alulról felfelé csináljunk egségmátrixot a bal oldalból. Már nem is írom a lépéseket, ugye egyértelmű? Ugyanaz jön ki természetesen, mint az előbb.

--

Megjegyzés: A lépcsős alak előállításakor nem kell feltétlenül úgy csinálni, hogy 1-esek legyenek kapásból az átlóban, de általában úgy könnyebb számolni utána. A végén persze a redukált lépcsős alakban már 1-eseket kell csinálni az átlóból, aztán már alulról felfelé a második menet nagyon egyszerű.