Megoldható-e a következő negyedfokú egyenlet? X^4+2nx^3+ (n^2+1) x^2+nx+m=0 és n, m eleme N. Legalább is az egyik gyöke előállítható a másodfokú egyenlet megoldóképletének alkalmazásával.
Vizsgálva n=2, m=1 esetet x^4 + 4·x^3 + 5·x^2 + 2·x + 1 polinomhoz juthatunk. Ezt pedig keressük g O f alakban, ahol g(x) a külső polinom, f(x) a belső polinom. Ennek több megoldása is van. Az egyik megoldás a g(x)= x^2 - 3·x + 3 és f(x)= x^2 + 2·x + 2. A nekik megfelelő inverz-függvények g1(x)=(3 - gyök(4·x - 3))/2 illetve
f1(x)=gyök(x - 1) - 1. Az egyik megoldás f1(g1(0))=gyök(3)/2-1-i/2, ahol i az imaginárius egység.
A négy komplex gyökkel a megoldás:
(x + gyök(3)/2 + 1 + î/2)·(x + gyök(3)/2 + 1 - î/2)·(x - gyök(3)/2 + 1 + î/2)·(x - gyök(3)/2 + 1 - î/2).
BKRS képlete lényegében válasz a kérdésre. A kompozícióra a válasz a g(x) := x^2 + (1 - 2·c)·x + m + c^2 - c külső polinommal, illetve f(x) := x^2 + n·x + c belső polinommal adható meg. Engedjétek meg, hogy még két kérdést feltegyek. Vajon milyen feltételek mellet lesz ennek az egyenletnek legalább két valós gyöke? Az itt vázolt módszert hogyan tudnánk egy kicsit általánosabbá tenni hatodfokú esetleg nyolcadfokú polinomok gyökeinek keresésekor? Minden választ és fáradozást megköszönök.
válasza:Jelolje a^2=4m-1
2i*a + n^2-2 es -2i*a + n^2-2 gyokenek kell valosnak lennie ahhoz, hogy valos gyokot kapjunk
Ennek viszont csak akkor lesznek a gyokei alosak, ha a = 0.
Vagyis m=1/4 ami nem megoldas, mert m ∈ ℕ
válasza: válasza:Nekem kicsit más jött ki a valós gyökökre:
A külső polinom (x²+(1-2c)x+m+c²-c) gyökei ezek:
x = (2c-1±√(1-4m))/2
Vagyis a belső polinomhoz ez az egyenlet tartozik:
x²+nx+c = (2c-1±√(1-4m))/2
2x² + 2nx + 1±√(1-4m) = 0
A gyökök tehát: (a két ± egymástól független persze)
x1234 = (-2n±√(4n²-8±8√(1-4m))/4
x1234 = (-n±√(n²-2±2√(1-4m))/2
Ha a természetes számokba bevesszük a nullát is (manapság már inkább ez a szokás, de kérdés, hogy ez a feladat hogyan definiálja), akkor m=0 esetén lesznek valós gyökök:
x1234 = (-n±√(n²-2±2)/2
x12 = (-n±√(n²)/2 = 0 illetve -n
ez a két megoldás valós, sőt, egész.
x34 = (-n±√(n²-4)/2
ez a kettő pedig n≥2 esetén valós. Vagyis 4 valós gyök is simán lehet, persze csak m=0 mellett.
Ha a nullát kizárjuk, tényleg nincs valós gyök.
válasza:A kompozíciónál valójában nem értem, miért hoztad be a c-t, az úgyis ki kell essen. Vagyis a legegyszerűbb polinomok ezek:
g = f²+f+m
f = x²+nx
Hatodfokúnál ez mondjuk így alakulna:
g = f³+f²+f+m
f = x²+nx
kifejtve pedig:
x^6+3nx^5+(3n²+1)x^4+n³x³+(n²+1)x²+nx+m
Vagyis az ilyen alakúakból visszacsinálható g és f.
Mondjuk elég sok megkötés lett az együtthatókra...
Még általánosabban g = f³+k·f²+l·f+m is lehet a kiindulásunk, akkor persze még bonyolultabb összefüggés lenne az együtthatók között.
válasza:En is jobban szeretm a Negativ szam, Pozitiv szam, Nemnegativb, Nempozitiv osztalyozast.
A termeszetes szam kategoriat nyugodtan ki lehetne dobni, mar csak az egyertelmu hasznalat hianya miatt is.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!