Egy konvex sokszög oldalai és átlói számának összege 91. Hány oldalú a sokszög? Mennyi a belső szögeinek összege?

Az n szögű sokszögnek van n oldala. Minden csúcsából megy n-3 átló (nem megy saját magába és a két szomszédos csúcsba). Mivel egy átlóhoz két csúcs tartozik, az átlók száma összesen n·(n-3)/2.

Az oldalak és átlók számának összege:

n + n·(n-3)/2 = 91

Oldd meg ezt a másodfokú egyenletet a megoldóképlettel. Ki fog jönni egy pozitív és egy negatív megoldás. Persze a pozitív lesz az igazi, annyi oldalú a sokszög.

Belső szögek összege:

Ha egy csúcsból behúzzuk az összes onnan induló átlót, akkor az a sokszöget háromszögekre bontja. Rajzold fel mondjuk ötszögnél vagy hatszögnél. Látni fogod a rajzból, hogy a háromszögek szögeinek az összege pont kiadja a sokszög összes szögének összegét.

Mivel n-3 átlót tudunk behúzni egy csúcsból, és az átlók n-2 háromszögre bontják a sokszöget, a belső szögek összege (n-2)·180°. Már csak be kell helyettesíteni azt az n-et, amit az előbb kiszámoltál.