Matek feladatok, segitenétek? (lent)

Mi a százalék? Egy százalék (1%) az valaminek az egy századrésze, vagyis ebben az esetben a 2000-nek. Ez mennyi?

2000 ...... 100%

x ...... 1%

x = 2000/100 = 20 (1%)

Namármost, ha pl. 75%-ról beszélünk, akkor ez az 1%-nak a 75 szerese, vagyis:

75% = 75*1%

75% = 75*20 = 1500

2000 ...... 100%

x ...... 75%

x = 75*2000/100 = 1500

Ha egy egyenlet mindkét oldalával ugyanazokat a műveletek végezzük el, akkor az egyenlet nem változik. Vagyis ha pl. mindkét oldalhoz ugyanazt a számot adjuk hozzá, ugyanazt a számot vonjuk ki mindkét oldalán, vagy mindkét oldalt ugyanazzal a számmal szorzunk be, ill. osztunk el. Az „x“ értékét úgy számoljuk ki, hogy elvégezzük ezeket a matematikai műveletek, miközben folyamatosan arra törekszünk, hogy az egyik oldalon csak az „x“ kifejezés maradjon a másikon meg csak számok „x“ nélkül. Tehát:

2*x + 5 = 7 /–5 mert így csak a 2*x marad és ezzel egyszerűsödik a helyzet

2*x + 5 – 5= 7 – 5

2*x = 2

2*x = 2 /:2 mert így csak tisztán az „x“ marad a bal oldalon

2*x/2 = 2/2

x = 1 ezzel meg is van

Ha a derékszögű háromszöget úgy „állítjuk“ fel, hogy az egyik befogóján „álljon“, akkor a másik befogója lesz a magassága. A háromszög területét úgy számoljuk ki, hogy kiszorozzuk az egyik oldal hosszát a hozzá tartozó magassággal és a kapott eredményt elosszuk kettővel. Jelen esetben tehát:

16*12/2 = 96 cm² (négyzetcentiméter)

A négyzet átlója a négyzet két oldalával egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget alkot. A két egyenlő hosszú szár (befogók) a négyzet egy-egy oldala, az átfogó a négyzet átlója.

Az átfogó hosszát („c“ oldal) a Pitagorasz tétel szerint számítjuk ki:

c² = a² + b²

Mivelhogy b = a (négyzetről van szó), ezért:

c² = a² + a² = 2*a²

a = 10 cm

c² = 2*10² = 2*100 = 200

c = √200 = 14,14 cm

3/4 + 7/10 × 5/10 = ?

Hogyan szorzunk törtek törttel? Úgy szorzunk, hogy a nevezőket a nevezőkkel szorozzuk ki, a számlálókat meg a számlálóval szorozzuk ki. Van tehát ez a két törtünk:

7/10 és 5/10

Az elsőben a nevező a 10 a második törtben is a nevező a tízes, tehát akkor ezeket fogjuk kiszorozni egymással:

10×10 = 100 ez lesz majd a szorzatnak a nevezője

Az elsőben a számláló a 7 a második törtben a számláló az 5, tehát akkor ezeket fogjuk kiszorozni egymással:

7 × 5 = 35 ez lesz majd a szorzatnak a számlálója, vagyis a szorzat így fog kinézni:

7/10 × 5/10 = (7×5)/(10×10) = 35/100

Ezt aztán még tovább lehet egyszerűsíteni úgy, hogy a nevezőt is meg a számlálót is szétírjuk prímszámok szorzataira, vagyis:

35 = 5*7

100 = 10*10 = 2*5*2*5 = 2*2*5*5 tehát:

35/100 = (5*7)/( 2*2*5*5)

Látjuk, hogy az ötös mind a számlálóban, mind a nevezőben előfordul, ezért aztán ezeket ki lehet hagyni a törtből, vagyis a törtet egyszerűsítjük:

(5*7)/( 2*2*5*5) = („5“*7)/( 2*2*„5“*5) = 7/(2*2*5) = 7/20 (az „5“ számot kihagytuk)

Tehát a feladat most így néz ki:

3/4 + 7/10 × 5/10 = 3/4 + 7/20

A továbbiakban úgy folytatjuk, hogy a két törtet közös nevezőre hozzuk, vagyis meg kell találnunk azt a legkisebb egész számot, amelyben mint az 20, mint a 4 egész számú többszöröse fordul elő. Ez a számot úgy kapjuk meg, hogy mindkét számot szétbontjuk prímszámok szorzataira, vagyis:

4 = 2*2

20 = 2*10 = 2*2*5 = 2*2*5

A keresett közös nevező az a legkisebb szám lesz, amelyikben mindkét szorzat megtalálható, tehát kell majd neki tartalmaznia a 2*2-őt meg a 2*2*5-ötöt is, vagyis a keresett szám:

2*2*5= 20

A számlálót úgy kapjuk meg, hogy először a 3/4-et írjuk át úgy, hogy a nevezője 20 legyen. Ehhez azt kell tudnunk, hogy a 4 hányszor fordul elő a 20-ban:

20/4 = 5

Ezzel a számmal aztán beszorozzuk a számlálót:

3*5 = 15

A tört a húszas nevezővel így fog kinézni:

15/20

Ugyanezt megcsináljuk a másik tört esetében is, de itt most ez egyszerű:

7/20

Tehát akkor:

3/4 + 7/10 × 5/10 = 3/4 + 35/100 = 3/4 + 7/20 = 15/20 + 7/20 = (15+7)/20 = 22/20 = 11/10 = 1,1

Na, akkor fussunk neki mégegyszer:

3/4 + 7/10 × 5/14 = ?

Hogyan szorzunk törtek törttel? Úgy szorzunk, hogy a nevezőket a nevezőkkel szorozzuk ki, a számlálókat meg a számlálóval szorozzuk ki. Van tehát ez a két törtünk:

7/10 és 5/14

Az elsőben a nevező a 10 a második törtben is a nevező a tízes, tehát akkor ezeket fogjuk kiszorozni egymással:

10×14 = 140 ez lesz majd a szorzatnak a nevezője

Az elsőben a számláló a 7 a második törtben a számláló az 5, tehát akkor ezeket fogjuk kiszorozni egymással:

7 × 5 = 35 ez lesz majd a szorzatnak a számlálója, vagyis a szorzat így fog kinézni:

7/10 × 5/14 = (7×5)/(10×14) = 35/140

Ezt aztán még tovább lehet egyszerűsíteni úgy, hogy a nevezőt is meg a számlálót is szétírjuk prímszámok szorzataira, vagyis:

35 = 5*7

140 = 10*14 = 2*5*2*7 = 2*2*5*7 tehát:

35/140 = (5*7)/( 2*2*5*7)

Látjuk, hogy az ötös és a hetes mind a számlálóban, mind a nevezőben előfordul, ezért aztán ezeket ki lehet hagyni a törtből, vagyis a törtet egyszerűsítjük:

(5*7)/( 2*2*5*7) = 1/(2*2) = 1/4

Tehát a feladat most így néz ki:

3/4 + 7/10 × 5/14 = 3/4 + 1/4

A továbbiakban úgy folytatjuk, hogy a két törtet közös nevezőre hozzuk, tehát akkor:

3/4 + 7/10 × 5/14 = 3/4 + 35/140 = 3/4 + 1/4 = (3+1)/4 = 4/4 = 1/1 = 1