Az x2 + ax + b + 1 = 0 egyenlet gyökei 0-tól különböző egész számok. Melyik kijelentés igaz az S = a2 + b2 összegre vonatkozóan?

Felírtam a Viete formulákat a megadott paraméteres egyenletre:

x1+x2 = -a

x1x2 = b+1

Innen a = -(x1+x2) és b = x1x2-1

Ekkor S = a^2+b^2 = x1^2+2x1x2+x2^2 + x1^2*x2^2 - 2x1x2 +1

A 2x1x2 kiesik, mivel + és - is van, tehát

S = x1^2+x2^2+x1^2*x2^2+1 Kicsit átcsoportosítva:

S = (x1^2*x2^2 + x1^2)+ (x2^2+1) Innen az x1^-et kiemelve:

S = x1^2(x2^2+1) + (x2^2+1) innen (x2^2+1)-t kiemelve:

S = (x2^2+1)*(x1^2+1)

Mivel tudjuk, hogy x1 és x2 egész szám, ezért S is egész, ráadásul két pozitív egész szám szorzata, hiszen mind x1, mind x2 a négyzeten vannak + 1, ami csak pozitív lehet, ezért a helyes válasz a D) S összetett szám, hiszen láthajuk, hogy felírható két egész szám szorzataként.

Az E) válasz egyértelműen nem lehetséges, hiszen a 4 válasz mind lefed egy-egy kategóriát. A)-ról és B)-ről könnyen be lehet látni, hogy nem lehetségesek.

A két gyökről tudjuk, hogy egész. Jelöljük őket p-vel és q-val.

Viéte-képlettel:

p + q = -a

p * q = b + 1

b = pq-1

a^2 = (-a)^2

Így tehát

a^2 + b^2 = (p+q)^2 + (pq-1)^2 = p^2 + 2pq + q^2 + (pq)^2 - 2pq + 1 = p^2 + q^2 + p^2 * q^2 + 1

Ezt szorzattá lehet alakítani:

(p^2+1)*(q^2+1)

Mivel p és q egész számok, az eredményt pedig eleve szorzat alakban kaptuk meg (illetve szorzattá alakítható), ezért összetett szám.