Sin2x=sinx ezt hogy kell megoldani?

sin2x=2*sinx*cosx

2*sinx*cosx=sinx ........./:sin x és.... sin x<>0

2cosx=sinx .........../:cos x

2=tgx

x= 63,435 fok+k*180 fok

Ha x = 63,435 fok, akkor sin(2*63,435)≠ sin(63,435).

Az egyenlőség x = 60 fok esetén áll fenn.

Utolsó !

tökéletesen igazad van, de hol rontottam el ?

Megmutatom.

2sinx*cosx = sinx

2sinx*cosx - sinx = 0

sinx(2*cosx - 1) = 0

Tehát vagy

sinx = 0

x = 0

====

vagy

2*cosx - 1 = 0

2*cosx = 1

cosx = 1/2

x = 60°

======

DeeDee

**********

DeeDee:

ok a Te megoldásod teljesen rendben van. A kérdésem az, hogy amit én írtam, azt hol rontottam el ? Az nyilvánvaló, hogy elb..tam, de hol csináltam hülyeséget ? :(

OK !azt hiszem rájöttem :

sinx=0 miatt nem oszthatok vele

2*sinx*cosx=sinx ....../:sin x és.... sin x<>0

2cosx=sinx ....../:cos x

Csak egy apró elütés volt a hiba: a baloldalt elosztottad sinx-szel, de a jobboldalt nem. Megpróbálom megismételni a Te gondolatmenetedet, de úgy ,hogy az elgépelés ne legyen benne:

2*sinx*cosx=sinx ....../:sin x és.... sin x<>0

2cosx=1

Innentől már kijönnek az ,,érdekes'' megoldások (amihez még hozzá kell venni a sin x=0 eset külön vizsgálatát)

Arra kell mg ügyelni, hogy a cos x = 1/2 egyenletnek két megoldása is van. (Mármint a végtelen sok megodás kétféle érdekes csoportba sorolható: 1) x = 60fok, 2) x = 300 fok, vagy -60 fok, vagy ...)

A megoldást nagyjából vizuálisan is meg lehet sejteni, ha elképzeli ez ember az egységkörön fokozatosan végigkúszó pontokat (piros pont lassan körbemászik az egységkörön, a kék pont pedig pont az első pont forgászögének kétszeresének megfelelő szöggel rohan előre.

Szóval piros légy üldözi a kék legyet az óra számlapján, de a kék légy pont kétszer gyorsabb nála. A legyek a 3 óra számjegytől indulnak, és a 12 óra irányába kezdik meg versenyfutásukat (vagyis az óra járásával ellentétesen). A kérdés nem az, hogy mikor érik utol egymás, hanem hogy mikor vannak pont egyforma ,,magasan''

A legkönnyebb része a dolognak azt észrevenni, hogy a két légy EGYÜTT indult (tehát a háromóra rovátkénak megfelelő nulla forgásszög biztos megoldás).

Amíg a piros légy a 0 és 45 fok ,,között'' jár (a 3 és a félkettő rovátka között), addig a kétszeres forgásszögnek megfelelő kék légy ,,magasabban'' lesz, mint a piros. Ez a fajta magasság-előny azonban 0 foknál (háromóra-rovátka) MÉG nem jelentkezik (hisz a két légy együtt és egyszerre indult).

Amikortól pedig a piros légy elhagyja a 45 fokot (félkettő), a kék légy ekkor meg éppen ,,átbukik'' a lehető legmagasabb ponton (a ,,delen''), ezért a kék légy magasság-előnye onnantól kezd elenyészni, hiszen onnantól kezdve a kék légy egyre lejjebb kerül, míg a piros még mindig egyre emelkedik. Amikor a piros pont pont 60-foknál áll (egyóra), a kék pont magaságelőnye pont semmivé válik (mert a kék meg akkor meg pont a tizenegyóra rovátkán lesz), szóval pont ez lesz az a helyzet, amikor a már lefelé haladó kék légy immár pont úgy bukott át a lehető legmagasabb ponton, hogy ő is ugyanolyan magasan lesz, mint még mindig emelkedő piros.

A többi megoldást is ki lehet hozni, ahogy az ember a magasság-előny változását elképzeli. A legkönnyebb része az, amikor a piros légy még nem halad fél kört, de negyedkört már megtett. Ekkor ugyanis a piros még a háromóra-kilencóra rovátka magasságának megfelelő szint fölött van, míg a kék légy meg már ez alatt jár. Tehát ekkor nem is lehet a kék légy ugyanabban a magasságban.

Persze amikor a piros légy épp eléri a kilencóra rovátkát (180fokos forgásszög), ugyanekkor a kétszer fürgébb kék légy éppen körbeér, épp visszaérkezik a kiinduló háromóra rovátkára. Ekkor is éppen ugyanabban a magasságban áll a két légy.

A legnagyobb nehézség akkor lesz, amikor a piros légy a körútjának legeslegutolsó negyedében jár (vagyis a hatóra és a háromóra rovátka közt, majdnem visszaérve a az eredeti kiindulópontra, a háromóra rovátkára). Azért ez a síknegyed a legnehezebb, mert itt azt is el kell tudni képzelni, hogy a kék légy immár egy körnél többet haladt körbe az óra számlapján. Pl. a piros még az ötóra rovátkánál áll, vagyis két rovátkát leszámítva majdnem visszaért a háromóra rovátkára, ahonnan indult, szóval útja során tíz rovátkányi utat tett meg összesen. A kék légy ugyanekkor már húsz rovátkányi utat fáradozott, vagyis egyszer épp körbeért (ez összesen tizenkét rovátkányi út), és még pluszban nyolc rovátkányi utat még rá is húzott, vagyis olyan, mintha eleve csak nyolc rovátkányit tett volna meg. Ugye a háromóra rovátkától indultak a legyek az óra járásával ellentétes irányba, tehát a kék légy most a hétóra rovátkánál van, vagyis tényleg pont ugyanolyan magasan (mélyen) áll, mint a piros légy az ötóra rovátkán. (Az ötóra rovátka az a 330fokos forgásszögnek felel meg, de a mínusz hatvanfokos forgásszög is pont ugyanazt az eredményt adná.)

Szóval a megoldás:

Piros légy (x forgászög):

0 fok (háromóra rovátka)

Kék légy (2x fokos forgászög) ugyitt, hisz együtt indulnak egyszerre.

Piros légy (x forgásszög):

60 fok (egyóra rovátka)

Kék légy (2x fokos forgásszög): 120 fok (tizenegyóra rovátka)

Piros légy (x forgászög):

180 fok (kilencóra rovátka)

Kék légy (2x fokos forgászög): 0 fok (éppen körbeér, szóval újra a háromóra rovátka)

Piros légy (x forgászög):

300 fok (ötóra rovátka), útja során összesen 10 rovátkányit fáradt, két rovátka híján körbeért. Akkor is ugyanitt lenne, ha eleve úgy indult volna, hogy a háromóra rovátkánál lévő kiindulópontjától két rovátkát gyalogol ellentétes irányban a verseny eredeti irányával (mínusz 60fokos forgásszög).

Kék légy (2x fokos forgásszög): 600 fok, vagyis 360 fok és még pluszban 240 fok (vagyis ő egyszer már körbejárta a számlapot, sőt négy rovátka híján majdnem kétszeresen is, összesen húsz rovátkányit gyalogolva, azaz ő meg meg a hétóra rovátkánál áll). Akkor is ugyanitt lenne, ha eleve úgy indult volna, hogy a háromóra rovátkánál lévő kiindulópontjától négy rovátkát gyalogol ellentétes irányban a verseny eredeti irányával (minusz 120fokos forgásszög).

Szóval a megoldások (persze x-re): 0 fok, 60 fok, 180 fok, 300 fok (vagy -60 fok, hisz a körbeérés nem igazán érdekes).

Ugyanekkor 2x rendre az alábbi értékeket veszi fel: 0 fok, 120 fok, 360 fok (vagy 0 fok, hisz a körbeérés nem számít), 600 fok (vagy 240 fok, hisz 600 fok = 360 + 240, vagyis egy teljes körbeérés és még 240 fok).

Valójában végtelen sok megoldás van, de ezek közül egybe csoportosíthatjuk azokat, amelyek ,,ugyanolyanok'' (vagyis a legyek körbeérése az ebből a szempontból kevéssé lényeges: mindegy hogy 2 rovátkát tesz meg vagy 12 + 2 rovátkát, és az is mindegy, hogy tíz rovátkát a verseny irányába, vagy két rovátkát az eredeti versenyiránnyal ellentétes irányban).

Szóval ha most csak a lényeget nézzük:

Ami egybeesik:

0 fok sinusa és 0 fok sinusa (nyilvánvaló)

60 fok sinusa és 120 fok sinusa

180 fok sinusa és 360 fok sinusa

300 fok sinusa és 240 fok sinusa

Mindenesetre a feladat szerint az összes megoldást fel kell sorolni, de persze egybe csoportosíthatjuk azokat az eseteket, amelyek között nincs a feladat szempontjából lényeges tartalmi újdonság.

x = 0 fok + k-szor 360 fok

és még ezeket a lehetőségeket is hozzávéve:

x = pluszminusz 60 fok + k-szor 360 fok

ahol k tetszőleges egész szám.

Ez a k-s trükk van arra, hogy olyan dolgokat is beleértsünk, amikor a piros légy pontosan ezerszer járt már körbe, a kék meg pontosan kétezerszer. Ez nyilván ugyanaz a helyzet, mint amikor mindketten elindultak, szóval ez is megoldás, ezért bele kell venni a felsorolásba. A végtelen sok (de igazán érdekes újdonságot nem jelentő megoldások egybe csoportosítására van ez a felírási forma).

Ami meg az érdekes eltéréseket illeti, ilyen szempontból négy megoldás van (pontosabban szólva, a végtelen sok megoldást négy érdekes csoportba lehet osztályozni).

Elgépelés javítása:

,,(Az ötóra rovátka az a 330fokos forgásszögnek felel meg, de a mínusz hatvanfokos forgásszög is pont ugyanazt az eredményt adná.)''

Helyesen:

,,(Az ötóra rovátka az a 330fokos forgásszögnek felel meg, de a mínusz hatvanfokos forgásszög is pont ugyanazt az eredményt adná.)''

A megodások végső felírásánál is volt egy kihagyás. Javítva:

x = 0° + k·180°

és még ezeket a lehetőségeket is hozzávéve:

x = ± 60 fok + k·360°

ahol k tetszőleges egész szám.

A hiba ott volt, hogy az első sorban a 0° + k·180° helyett először 0° + k·360°-ot írtam, ami a négy lényeges eset közül az egyik kihagyását jelentené. Szóval itt a 0° + k·180° a helyes. A második sor eredetileg is jó volt.

Elgépelés javítása:

,,(Az ötóra rovátka az a 330fokos forgásszögnek felel meg, de a mínusz hatvanfokos forgásszög is pont ugyanazt az eredményt adná.)''

Helyesen:

,,(Az ötóra rovátka az a 300fokos forgásszögnek felel meg, de a mínusz hatvanfokos forgásszög is pont ugyanazt az eredményt adná.)''