Trigonometrikus egyenlet? Sinx+cosx=1

sinx+cosx=1

I. Így tanítják:

sinx=négyzetgyök(1-cos négyzet x)

négyzetgyök(1-cos négyzet x)=1-cos x

Négyzetre emelve az egyenletet

1-cos négyzet x==1-2 cos x + cos négyzet x

Kapsz egy másodfokú egyenletet cos x-re.

Megoldod a megoldóképlettel.

Kapsz valamit cos x-re. A megoldás 2 pi-re periodikus.

Az egyenlet négyzetre emelése miatt hamis gyökök is beléphetnek.

===============================

II. Így nem tanítják:

Oszd el az egyenletet négyzetgyök(2)-vel!

A nevezetes szögek szöggfüggvényei szerint

1/négyzetgyök(2)=sin(pi/4)=cos(pi/4) és a

sin(x+y)=cos y *sin x + sin y *cos x;

addíciós tétel felhasználásával

sin(x+pi/4)=sin(pi/4)

lesz.

Ha két szög színusza egyforma, akkor vagy (1) egyenlőek, vagy (2) összegük pi, vagy (3) eltérésük 2*pi egész számú többszöröse, vagy (4) összegük páratlanszor pi.

(1) x+pi/4 =pi/4

x=0

(2) x+pi/4+pi/4=pi

x=pi/2

Emeljük négyzetre (de majd a végén e miatt kell még valamit csinálni!):

sin²x + cos²x + 2·sin x · cos x = 1

Mivel sin²x+cos²x=1, ezért

2·sin x · cos x = 0

Ez pedig éppen a sin 2x (nézd meg a függvénytáblát):

sin 2x = 0

Ez 2x=0 valamint π-nél teljesül, illetve utána periódikusan:

2x = 0 + kπ

x = 0+k·π/2

A négyzetreemelés miatt bejöhettek hamis gyökök, ugyanis amikor sin x+cos x = -1, a négyzet akkor is +1 lesz. Ezeket az eseteket ki kell hagynunk!

Az eredeti sin x+cos x=1 csak úgy teljesülhet, ha mind a szinusz, mind a koszinusz ≥ 0, hiszen mindkettő értéke maximum 1 lehet. Ha bármelyik negatív lenne, akkor az összeg tuti nem lehet már 1.

Vagyis az x=k·π/2 közül azok, amik negatív szinusz vagy koszinuszt adnak, kiesnek. Ami megmarad:

x = 0 + 2kπ

x = π/2 + 2kπ

sinx+cosx=1

Ezt az egyszerű esetet gyökvonás nélkül is meg lehet oldani.

Triviális, hogy ha sin x = 1, akkor cos x = 0;

ha cos x =1, akkor sin x=0.

Tehát x=pi/2+2k*pi, vagy x=0+2k*pi, ahol k egész szám.

Be kell látni, hogy nincs több megoldás.

Képzelj derékszögű háromszöget cos x, sin x befogókkal! Az átfogója 1. A háromszög-egyenlőtlenség miatt sin x + cos x >1.

==========================================================

a*sin(x) + b*cos(x) = c

Osszuk végig az egyenletet sqrt(a^2+b^2)-tel. [Négyzetgyök alatt á négyzet plusz b négyzettel]!

Kapunk egy

p*sin(x) + q*cos(x) =r egyenletet,

ahol p^2+q^2=1, és r=c/sqrt(a^2+b^2).

Emiatt van olyan y, amelyre p=cos(y) és q=sin(y).

cos(y)*sin(x) + sin(y)*cos(x) =r

Elég csak egy megoldást találnunk y-ra.

Baloldalon a két szög összegének a színusza szerepel.

sin(x+y)=r.

Ha r=1, a kérdésben szereplő egyenletet kapjuk.

Ha r>1, nincs megoldás.

Ha r<1, létezik olyan z, amelynek a színusza r.

sin(x+y)=sin(z)

Ebből x+y=z+2*k*pi, vagy x+y=pi-z+2k*pi, ahol k egész szám.

Itt x és z ismert az eredeti a és b együtthatók alapján.

(gyök2)/2-vel beszorozva (és a (gyök2)/2-t át lehet írni sin (pi/4); cos(pi/4) alakra is) szintén használható egy addíciós tétel, így

sin(x+pi/4) = (gyök2)/2, innentől már gondolom, menni fog