Trigonometrikus egyenlet. Miért van ez?

"sinα=cosβ esetében ugye α-β=π/2+2πk"

Ez hogy is van pontosan? Mi nem tanultunk ilyen szabályt, de így ránézésre is egyből mondanám a 45°-ot, aminek a szinusza és a koszinusza egyenlő, tehát α-β=0.

cos(30°)=sin(60°) és cos(60°)=sin(30°).

Tehát így sejtés szintjén α+β=π/2+2πk lenne az a bizonyos szabály. Próbáld meg így.

sin(2x-π)=cos4x

sin(2x-π)=sin{-(π-2x)}=-sin(π-2x)=sin2x=

cos4x=cos^2(2x)-sin^2(2x)=1-2sin^2(2x)

sin2x=a

a=1-2a^2

2a^2+a-1=0

a=(-1±√(1+8))/4

a1=1/2

a2=-1

sin2x=1/2 ->x1=π/12+k*2π

sin2x=-1 ->x2=3π/4+k*2π

ha jól számoltam

A cosα=sin(π/2-α)azonosságot alkalmazva a megoldás a következő:

Ekkor cos4x=sin(π/2-4x)

Emiatt sin(2x-π)=sin(π/2-4x) (sinα=sinβ)

Az kétféleképpen lehet.

vagy 2x-π=π/2-4x+k2π, (α=β+2πk alapján)

ekkor x=π/4+kπ/3

vagy: (2x-π)+(π/2-4x)=π+k2π, (α+β=π+k2π alapján) ilyenkor

x=-3π/2-kπ

Addíciós tétel alapján:

sin(2x-π)=sin2x*cosπ-cos2x*sinπ=-sin2x

cos4x=cos^2(2x)-sin^2(2x)=1-2sin^2(2x), így

-sin2x=1-2sin^2(2x)

sin2x=a

-a=1-2a^2

2a^2-a+1=0

a=(1±√(1+8))/4

a1=1 -> sin2x=1

a2=-1/2 -> sin2x=-1/2

1. eset

2x=π/2+k*2π -> x1=π/4+k*π

2. eset

2x=-π/6+k*2π -> x2=-π/12+k*π

illetve 2x=-5π/6+k*2π ->x3=-5π/12+k*π