Egy számtani sorozat 1. és 7. tagjának összege 4,2. és 7. tagjának négyzetösszege pedig 17. Melyik ez a sorozat?

Első tag: a0

hetedik tag: a7=a0+6*d, ahol d a sorozat különbsége.

tehát 4=2*a0+6*d

második tag:

a2=a0+d

a7=a0+6d

négyzetösszegük: (^ mindig a négyzetreemelést jelenti)

(a2)^2 + (a7)^2 = (a0+d)^2 + (a0+6d)^2 = a0^2 + 2*a0*d + d^2 + a0^2 + 12*a0*d + 36*d^2= 2a0^2 + 14*a0*d + 37*d^2 = 17

abból, hogy 4=2*a0+6*d, ki tudod fejezni például a0-t, azt be tudod írni a másodfokú egyenletbe, és meg tudod oldani.

a0= (4-6d)/2=2-3d

ezt ha beírod a másodfokúba:

2a0^2 + 14*a0*d + 37*d^2 = 2*(2-3d)^2 + 14*(2-3d)*d + 37*d^2= 2*(4-12d+9d^2)+14*(2d-3d^2)+37*d^2= 8-24d+18d^2+28d-42d^2+37d^2=8+4d+13d^2=17

a másodfokú egyenleted 8+4d+13d^2=17 azaz

13d^2+4d-9=0

megoldás d-re:

d1=9/13

d2=-1

Ha d=-1

akkor 4=2*a0+6*d alapján

4= 2*a0-6

10=2*a0

a0=5

Ha d=9/13

akkor 4=2*a0+6*d alapján

4=2*a0+54/13

-2/13=2*a0

a0=-1/13

Ellenőrizni azért próbáld meg.

Az első válaszoló megoldása helyes, én csak egy másik módszert mutatnék.

Az alapegyenletek

a1 + a7 = 4

a2² + a7² = 17

Páratlan sorszámú tagról lévén szó, célszerű a középsőből kiindulni

a1 = a4 - 3d

a7 = a4 + 3d

Az összegük

2*a4 = 4

a4 = 2

Ezzel

a1 = 2 - 3d

a7 = 2 + 3d

Mivel a2 = a1 + d

a két alapegyenlet

a1 + a7 = 4

(a1 + d)² + a7² = 17

Az első egyenletet négyzetre emelve, a másodikban elvégezve a négyzetre emelést

a1² + 2*a1*a7 + a7² = 16

a1² + 2*a1*d + d² + a7² = 17

majd a másodikból kivonva az elsőt

2*a1*d + d² - 2*a1*a7 = 1

Behelyettesítve a1 és a7 értékét

2*d(2 - 3d) + d² -2(2 - 3d)(2 + 3d) = 1

4d - 6d² + d² - 2(4 - 9d²) = 1

Felbontás összevonás után ugyanaz a másodfokú egyenlet adódik, mint az első válaszolónál.

Mindkét gyök megoldása a feladatnak.

A kérdező természetesen sűrű hálálkodás közepette megköszöni a segítséget.

Ugye?