Matek házi. Hogy kéne megoldani?

A két tartályban összesen: 5376 liter

Az egyik tartályban: x

A másik tartályban: 5376-x

Ha az x-ből elveszünk 16%-ot, akkor ott 0,84x marad. Ezt a másik oldalhoz kell hozzátenni:

0,84x = 5376-x+0,16x

Ebből megoldható az egyenlet (x€R+)

0,84x = 5376-0,84x //+0,84x

1,68x = 5376 //:1,68

x = 3200 //

Ellenőrizzük!

Ha az egyik tartályban 3200 liter van, akkor a másikban 5376-3200 liter = 2176 liter.

Ha a többől átszivattyúzunk 16%-ot, azaz 3200*0,16=512 litert, akkor a feladat szerint egyezőek vagyunk, vagyis:

3200-512 =? 2176+512

2688 = 2688 //

Tehát valóban jól számoltunk, az egyik tartályban 3200 liter, a másikban 2176 liter olaj van.

A feladat másik fele azt mondja, hogy hány százalékot kell átszivattyúzni ahhoz, hogy az egyik tartályban kétszer annyi olaj legyen, mint a másikban.

Az átszivattyúzott olaj mennyisége legyen: y

A 2176-ból y-nyit átszivattyúzunk a 3200 literesbe, így az első tartályunkban feleannyi lesz az olajmennyiség, vagyis egyenletben azt mondhatjuk, hogy:

2 x (2176-y) = 3200 + y [y€R+)

Oldjuk meg!

4352 - 2y = 3200 + y //+2y és -3200

1152 = 3y //:3

384 = y

Vagyis a megoldásunk szerint 384 litert kell átszivattyúzni. Ellenőrizzük!

Ha a 2176 literből 384 litert átszivattyúzunk, akkor marad 2176-384= 1792 liter. A másikban viszont lesz 3200+384, azaz 3584 liter. Kérdés, hogy a 3584 az kétszer annyi-e mint az 1792. 1792 * 2 = 3584 //.

Tehát a megoldásunk jó, 384 litert kell átszivattyúzni. De ezzel még nem a feladatban feltett kérdésre válaszoltunk. A kérdés szerint százalékban kell megadni az értéket, azaz ki kell számolnunk, hogy a 384 liter, amelyet átszivattyúzunk 2176 literből, hány százalékot is jelent. Ezt egyszerű arányítással megoldhatjuk:

100 % = 2176

? % = 384

384/2176 * 100 =~ 17,65%-át kell átszivattyúzni a kevesebb tartálynak a többe, hogy fennálljon a feladat elvárása.

De a feladat lehet, hogy arra kíváncsi, hogy az összes olaj mennyiségének hány százalékát kell átszivattyúzni, ekkor:

100% = 5376

?% = 384

Szintén arányítunk: 384/5376 * 100 =~ 7,14 %-át kell átszivattyúzni az összes olajmennyiségnek az kevesebből a többe.

Ellenőrizzük!

Ha az egyik tartályban van 2176 l, a másikban 3200 l, és a 2176-ból átszivattyúzunk 17,65%-ot, akkor fennáll-e, hogy az egyikben kétszer annyi lesz, mint a másikban:

2176*0,1765 =~ 384 l, vagyis 2176-384 liter lesz az egyikben: 1792 l, míg a másikban 3200 + 384 = 3584 l. És valóban teljesült, hogy az egyik a másik kétszerese.

Hasonlóképpen az egészre vonatkozó százalékmeghatározás:

Ha van összesen 5376 l olajam, az egyik tartályban 2176 l, a másikban 3200 l, és az egész mennyiség 7,14%-át átszivattyúzzuk a kevesebből a többe, valóban teljesül-e az elvárás:

5376*0,0714 =~ 384 l. Innen meg már látszik, hogy ugyanoda jutottunk, ahova az első ellenőrzésben.

// A kevesebb tartályban lévő olajmennyiség 17,65%-át vagyis az egész olajmennyiség 7,14%-át kell átszivattyúzni a kevesebb tartályból a többe, hogy teljesüljön az, hogy az egyikben kétszer annyi olaj van, mint a másikban.

x∈R^+

Ez lenne "szépen". a + jel az felső indexben van.

A lényege, hogy mivel tartályban lévő folyadékmennyiségről beszélünk, ezért bár az egyenletnek lehet negatív megoldása, az mégsem fogja a feladat megoldásának a részét képezni, hiszen egy hordóban nem lehet -16 liter folyadék. Ezért kell az egyenlet megoldásakor kikötni, hogy hol értelmezhető a megoldás.

Az € jel az az "eleme", aminek ez a valódi jele: ∈ (már ha megjeleníti az oldal), csak az EUR jelet egyszerűbb használni, könnyebb elérni. :P Az "eleme jel" az olyan mint az EUR, csak középen nem két vonala van, hanem egy.

Az R pedig a valós számok halmazát jelenti. Bár a feladat megoldásából "sejteni" lehetett azt, hogy a feladat a Q halmazra is megoldható, hiszen százalékot, azaz "kvázi-arányt" kellett számítani, az pedig "általában" felírható két egész szám hányadosaként, tehát bőven elég lett volna kikötni, hogy x∈Q+ halmaznak. De mint mondtam, a feladat megoldása szempontjából akár a √2 liter is JÓ megoldás lehetett volna, így ezért a valós számok halmazának "kikötése".