Mi a megoldás? Egy szabályos tetraéder térfogata egy kokcka térfogatának kilencszerese. Hogyan aránylik egymáshoz a tetraéder és a kocka élhossza?

Dolgozzunk általánosan! Az a élű kocka térfogata a^3.

A "b" élű tetraéder térfogata:

[link]

(ide nem tudom leírni.)

Tehát azt tudjuk hogy V(kocka)*9=V(tetraéder)

Elosztod mindkét oldalt b^3-el, így egy olyan harmadfokú egyenletet kapsz, amely hiányos hiszen az másodfokú és elsőfokú tag hiányzik. Így ezt Cardano-képlet nélkül meg tudod oldani. Atz jön ki hogy a keresett arány köbe: gyökkettő osztva 108-cal. Belátható, hogy ennek így három megoldása van, de 2 komplex, és nekünk csak a valós kell. Ennek az értéke pedig 2 tizedesjegyre kerekítve 0,24.

Legyen

a - a kocka

b - a tetraéder

élhossza

Vk - a kocka

Vt - a tetraéder

térfogata

A feladat szerint

Vt = 9*Vk

legyen a két élhossz aránya

q = a/b

vagyis

a = b*q

ezzel

mivel

Vt = (b³√2)/12

Vk = a³

(b³√2)/12 = 9*b³*q³

Egyszerűsítés, átrendezés után

q³ = √2/108

Ez így elég csúnya, lehet még kicsit fazonírozni

108 = 8*13,5

így

q³ = √2/8*13,5

A számlálót és a nevezőt 2-vel szorozva

q³ = 2√2/8*27

2√2 = (√2)³

8*27 = 2³*3³

így

q³ = (√2/6)³

vagyis

q = √2/6

=======