Adott az A={(2^x)*(5^y)*(7^z), ahol x,y,z természetes számok és x<=12, y<=12, z<=12} halmaz. Hogy igazoljam, hogy az A halmaz bármely 9 elemű B részhalmazában van legalább két különböző elem, amelyek szorzata négyzetszám?

1.

"9 elemű B részhalmazában van legalább két különböző elem"

A különbözőség kikötésének nincs értelme. Mert az A halmaz elemei különbözőek és akkor a részhalmazok elemei is azok. Vagy ha megengedünk azonos elemeket, akkor akár mind a 9 azonos lehet és akkor az állítás nyilvánvalóan nem igaz.

2.

Legyen a két összeszorzandó számban x,y és z: x1,y1,z1 és x2,y2,z2. A szorzatuk akkor lesz négyzetszám, ha x1+x2 és y1+y2 és z1+z2 mind páros.

A B halmaz 9 elemét osszuk 2 részhalmazba, aszerint hogy x páros vagy páratlan. Mindkét részhalmazban bármely két elemre teljesülni fog, hogy x1+x2 páros. A nagyobbik részhalmazban lesz legalább 5 elem.

Osszuk ezt a nagyobb részhalmazt újabb 2 részhalmazra, aszerint, hogy y páros vagy páratlan. És a nagyobbik, legalább 3 elemű részhalmazt osszuk z szerint. Akkor az így keletkező nagyobbik részhalmaz legalább 2 elemű lesz és teljesül benne az "x1+x2 és y1+y2 és z1+z2 mind páros" feltétel.