Mennyi az n természetes szám azon értékei, amelyekre a b=2^(n+1)]*(5^n)+5 szám egy négyzetszám?

Ha n>0, akkor a négyzetszám 5-tel osztható lesz, ezért 25-tel is.

2^(n+1)]*(5^n)+5=25*m^2

2^(n+1)]*(5^(n-1))+1=5*m^2

Ha n>1, akkor a bal oldal 5-tel osztva 1 maradékot ad, ami miatt nem állhat fenn az egyenlőség.

Tehát n=0 vagy 1.

Behelyettesítve 0-nál az eredeti bal oldal = 7.

1-nél 25. Az egyetlen megoldás n=1.

ChatGPT is ezt mondja:

Ha n = 1, akkor:

b = 2^(n+1)(5^n) + 5

= 2^(1+1)(5^1) + 5

= 2^2 * 5 + 5

= 20 + 5

= 25

25 egy négyzetszám, mivel 5^2 = 25.

Tehát n = 1 egy megfelelő érték az eredeti egyenletnek.

"ChatGPT is ezt mondja: Ha n = 1, akkor:"

Csakhogy nem ez volt a kérdés. Ha abból indulunk ki, hogy n=1, akkor nincs szükség ChatGPT-re. Elég ha az ember tud szorozni, összeadni és tudja, hogy mennyi 2 a négyzeten.

A kérdés az volt, hogy hány megoldás van. Bizonyítani kell, hogy az n=1-en kívül nincs másik. Ez a nehéz.