Hogy tudom eldönteni, hogy egy sorozat konvergens-e vagy sem?

Ha meg tudod mondani a határértékét, akkor abból egyértelmű, hogy konvergens. Viszont nem mindig vagyunk ilyen szerencsések; tipikus példa erre a

lim (1 + 1/n)^n

n->végtelen

sorozat. Sokáig nem tudták, hogy ennek a sorozatnak mi a határértéke, de azt tudták, hogy a sorozat szigorúan monoton nő, és a 4 egy felső korlátja (vagyis 4-nél minden tagja kisebb), tehát ebből kiderült, hogy a sorozat konvergens. Aztán jöt Euler, aki meg tudta adni a határértéket, és ezt a számot az ő tiszteletére e-vel jelöljük.

Hohóóóó, #1, azért itt óvatosan fogalmazzunk. :D Vegyük pl. a racionális számtestet, és definiáljuk rajta a valós számok szokásos metrikájának racionális számokra való megszorítását. Ebben a metrikus térben, ha pl. vesszük gyök 2 lánctörtbe fejtését, akkor egy olyan konvergens sorozathoz jutunk, amelynek nincs határértéke ebben a térben. Azok a metrikus terek, ahol minden konvergens sorozatnak van határértéke, egy speciális osztályt alkotnak, ők a teljes metrikus terek. A valós számok a szokásos metrikával pl. teljes metrikus tér.

Kedves kérdező!

Mondjuk Caughy-kritériummal. Egy (a_n) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha tetszőleges ε>0-hoz létezik olyan N=N(ε) küszöbindex, hogy ha n,m>N, akkor |a_n-a_m|<ε.

#3

[link]

#4 Utálom a Wikipédiát, mert pontatlan, mint a bűn, de ha már wikipédia, akkor ajánlanám figyelmedbe:

[link]

1.3. szakasz...