Konvergensek-e az alábbi sorozatok?

Mindekettő mehet a gyökkritériummal.

a) divergens

b) konvergens

#1, valamit benéztél, mert mindkettő konvergens;

[link]

[link]

Az első már csak az alapján konvergens kell, hogy legyen, hogy tudjuk, hogy a sum(1/n^2) konvergens, akkor nyilván ennek a kétszerese is konvergens lesz, vagyis a sum(2/n^2), már pedig ez utóbbi sorozat tagjai mind felülről becsülik az eredeti összeg tagjait, tehát a konvergens összegnél mindenképp kisebb lesz az összeg (és 0-nál nyilván nagyobb), ezen túl pedig szigorúan monoton növő, tehát kénytelen lesz konvergens lenni.

A másodiknál így lehet okoskodni; nyilván ahhoz, hogy az összeg konvergens lehessen, végtelen sok tagnak 0 és 1 közé kell esnie, tehát oldjuk meg az

n^3*(5/6)^n < 1 egyenlőtlenséget. Illetve elég csak egy részhalmazát megadni az egyenlőtlenségnek; szorzunk a nevezővel:

n^3 * 5^n < 6^n, tanultuk, hogy az (1-nél nagyobb alapú) exponenciális függvények rendje nagyobb a polinomoknál, vagyis az exponenciális függvények egy idő után mindig nagyobbak lesznek a polinomoknál. Emiatt a bal oldalon egy bizonyos n után n^3<1,1^n igaz lesz, tehát ezt kapjuk:

1,1^n * 5^n < 6^n, vagyis 5,5^n < 6^n, erről pedig tudjuk, hogy mindig igaz, tehát a jobb oldal egy idő után biztosan végig nagyobb lesz a bal oldalánál, így az n^3*(5/6)^n < 1 egy bizonyos idő után végig igaz lesz. Keressünk egy olyan számot, amire ez igaz lesz, ilyen például az n=100, innentől kezdve az összeg tagjai (tehát nem az összeg!) biztosan kisebbek lesznek 1-nél (mert a kifejezés szigorúan monoton csökkenni fog innentől, lásd hányadoskritérium). Az első 100 tag összege nyilvánvaló okokból konvergens lesz. Nézzük, hogy a 101. tagtól kezdve mit tudunk kezdeni az összeggel; keressünk egy olyan sorozatot, amelynek tagjai mind nagyobbak az eredeti sorozat tagjainál, összegük pedig konvergens. Ilyen sorozat lesz például az (1/2)^(n-101) n=101-től kezdve.

Mivel az (1/2)^(n-101) sorozat összege konvergens n=101-től kezdve, tagjai pedig mind nagyobbak, így nyilván a kisebb tagok összege is kénytelen konvergens lenni.

Igazatok van, az elsőt elnézetem, az elsőhöz majoráns kritérium kell:

e^(1/n) felülről tart az 1-hez. Tehát pl. 3/2-hez van olyan N, hogy minden n > N esetén e^(1/n) < 3/2. Ekkor N-től felfelé az összeg felülről becsülhető (3/2)*summa(1/n^2) -tel. Summa(1/n)^2-ről tudjuk, hogy konvergens.

A b-nél a kulcslépés, hogy

n^(1/n) tart az 1-hez, így a (n^3)^(1/n) = (n^(1/n))^3 is 1-hez tart.