Ha elosztunk egy konvergens sorozatot egy divergenssel miért lesz konvergens?

Sőt, ha egy konvergens b_n sorozatot (lim b_n = B, ahol B egy valós szám) elosztasz egy olyan sorozattal, amire lim |a_n| = ∞, akkor konvergens lesz, és a 0-hoz fog tartani.

Ugye az kell, hogy |b_n/a_n| egy bizonyos N(ε)-tól kezdve minden indexre legyen kisebb, mint ε. Ha ezt szépen be akarjuk látni, akkor vesszük a_n-nek a B-vel azonos előjelű x_n és attól eltérő előjelű y_n részsorozatát (most az n az a_n sorozatban elfoglalt helyet jelenti). Tudjuk, hogy b_n egy Nb(ε*B/1000) indextől kezdve nagyon közel van B-hez, azt is, hogy |x_n| egy Nx(1000*B/ε) indextől kezdve mindig nagyobb 1000*B/ε-nál, így b_n/x_n < B/(1000*B/ε) < ε, és hasonlóan lesz egy Ny(1000*B/ε) index is, hogy minden olyan n-re, ami az y_n-ben szerepel, b_n/y_n > –ε. A fenti Nx és Ny közül a nagyobbat választva jó küszöbindexet kapunk ε-hoz.