Mit jelent az hogy 1 függvénysorozat egyenletesen konvergens?

Pontonkénti konvergencia: Minden x-re konvergens a függvénysorozat, vagyis minden x-re van egy olyan ε függő N küszöb, hogy n>N esetén |f(x) - f_n(x)| < ε

Egyenletes konvergencia: x-től függetlenül van egy olyan ε függő N küszöb, hogy n>N esetén |f(x) - f_n(x)| < ε

Ha egy függvénysorozat egyenletesen konvergens, akkor természetesen pontonként is konvergens, de fordítva nem feltétlenül.

pl. az f_n(x) = xⁿ függvénysorozat a 0≤x≤1 tartományban pontonként konvergens: 0≤x<1 esetén 0-hoz konvergál, x=1 esetén pedig 1-hez. Egyenletesen viszont nem konvergens ugyanebben a tartományban, mert 0≤x<1 esetén ez jön ki N-re:

|xⁿ - 0| < ε

n > log ε / log x

Vagyis N függ az x-től, és ahogy x tart az 1-hez, egyre nagyobb N-re lenne szükség minden határ nélkül.