A sorozatokhoz, függvényekhez kapcsolódó kérdésekkel tudnátok segíteni?

> „Ha egy sorozat konvergens és monoton, akkor korlátos.”

Ez igaz, sőt, már akkor is korlátos lesz, ha csak konvergens.

Legyen a sorozat az a(n), ahol ugye n egy természetes szám, és a(n) a hozzárendelt valós. Hogy konvergens, az azt jelenti, hogy van véges határértéke, mondjuk A, ez pedig azt, hogy létezik egy N, amitől kezdve minden n > N-re |A – a(n)| < 1 = ε. Így az N-nél nagyobb sorszámú elemek között nem lehet A + 1-nél nagyobb, és A – 1-nél kisebb érték, viszont az N-nél kisebb elemekből csak N darab van (vagy N – 1, ha a 0 nem természetes), és véges sok elem között lesz olyan, aminél a többi nem nagyobb, a(n_max), meg olyan is, aminél a többi nem kisebb a(n_min). És így a(n_max) vagy A + 1 egy felső, és a(n_min) vagy A – 1 pedig egy jó alsó korlát lesz.

Ez így érthető?

> „A sorozat monotonitását nem lehet meghatározni deriválással.”

(((Azt szögezzük le az elején, hogy egy sorozatot nem lehet deriválni.)))

Az esetek nagy részében igaza van a tanárodnak, például ha a sorozatod az

a(n) = sin(π*n),

és te a sin(x)-et deriválod, akkor azt látod, hogy a derivált néha pozitív, néha negatív, tehát a sorozatod nem monoton. Pedig az a(n) sorozat a csupa 0-ból álló 0, 0, 0,…, tehát elég monoton, akárhogy is nézzük.

Vagy másik példa, az

a(n) = [n]

sorozat, ahol [x] az x szám egész része. Ezt hogy deriválod? Ahol tudod deriválni, ott mindenhol 0 a derivált; akkor ez egy konstans sorozat?

Ha mondjuk úgy lenne adva a sorozat, hogy

a(n) = n,

akkor viszont az x függvény deriváltja mindenhol pozitív, és ebből valóban következik, hogy az a(n) is monoton.

Összegezve, ha a(n) = f(n), ahol f(x) egy folytonos, deriválható (ami szintén egy fontos feltétel) függvény, akkor az f monotonitása (amit tudsz deriválással vizsgálni) elégséges feltétele a(n) monotonitásának, viszont nem szükséges.

> „Ha egy függvény konvergens és monoton, akkor korlátos?”

Ezzel olyan bajok vannak, hogy a függvény melyik pontjában nézed a konvergenciát. Ha csak a plusz végtelenben, azaz csak annyit vársz el, hogy az f(x)-nek legyen véges határértéke, ha az x tart a végtelenbe, akkor nem igaz, mert például a pozitív x-ekre értelmezett az 1/x a 0-hoz tart, de nem korlátos. Vagy mondhatnám a valósakra értelmezett e^(–x)-et is. Ha meg minden pontban létezik véges határértéke, akkor nyilván korlátos is.

> „1. Akkor ebben az esetben nem kell a monotonitási kitétel, mint ahogy írtam.”

Ilyet nem írtál. Még ezt írtad, hogy

> „Ha egy függvény korlátos és monoton, akkor konvergens.”

Ami függvény helyett sorozattal egy igaz állítás, de kell bele a monotonitás is. Függvényeknél meg lásd a „3-as” pontot.

> „Ha a(n)=sin(pi*n), akkor f(x)=sin(pi*x) függvény felel meg neki (miért is nézném csak az f(x)=sin(x)-et?)”

Ez jogos, de a derivált az f'(x) = pi*cos(pi*x) lesz (másrészt erre is áll, hogy néhol pozitív, néhol negatív).

> „Ezáltal akkor nem visz hamis következtetésre, habár nem mindig segít a megoldásban sem. Ezt kimondhatom?”

Ha odafigyelsz mindenre, és nem vonsz le következtetést, ha a derivált nem létezik, vagy a függvény nem monoton, akkor végül is, mondhatod…

Ha jól látom, az első pont ki lett vesézve.

A másodikhoz két dolgot tennék hozzá. Egyrészt az a(n+1)-a(n) "módszer", ahogy nevezted, szerintem éppen a deriválás sorozatokra butított változata. A függvény adott pontbeli differenciálhányadosa az adott ponthoz tartozó differenciahánados függvény határértéke (bal, illetve jobboldali derivált is így definiálható). Sorozat esetében világos, hogy nem tudunk tetszőlegesen közel menni, a legjobb amit tehetünk, hogy a legközelebbi elérhető differenciahányadost vesszük, ami pedig éppen az {a(n+1)-a(n)}/1.

Ha viszont a sorozatot szeretnéd függvénnyé kiterjeszteni, vagyis minden közbeeső valósra értelmezni, akkor gyorsan "ellentmondásba" futhatsz. Példásul az a(n)=0 triviális kiterjesztése az f(x)=0. A b(n)=sin(n*pi) triviális kiterjesztése a g(x)=sin(x*pi). A probléma máris világos: a(n)=b(n), de f és g nem is lehetne különbözőbb monotonitást, határértéket, deriváltat tekintve.