Tegyük fel, hogy az A ∈ R szám minden környezete az (a_n) sorozatnak végtelen sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az (a_n) sorozat konvergens?

Én egy olyan példára gondolnék, hogy legyen a sorozatunk:

0, A, 0, A, 0, A...

Itt az A szám minden környezetében végtelen sok eleme van a sorozatnak, mégsem konvergens

#1, ez a példa nem jó. Mert ha például A=2, akkor az A-nak az (1;3)-as környezetéből nem található elem a sorozatban.

Azt tudjuk, hogy bármely két valós szám között végtelen sok racionális szám van. Tehát ha tudnánk egy sorozatot mondani, ami az összes racionális számot tartalmazza, akkor meg tudnánk oldani a feladatot.

Szerencsére ezt már megoldotta helyettünk Cantor annak idején;

[link]

Ha lejjebb lapozol, akkor megtalálod, hogy Cantor annak idején hogyan számolta össze az ÖSSZES pozitív racionális számot.

Ebben a felsorolásban persze nincs benne a 0 és a negatív számok, de nem esünk pánikba; a sorozatot 0-val kezdjük, utána a rajz szerint haladunk úgy, hogy minden lépés előtt a szám ellentettjét is vesszük, így a sorozat az ÖSSZES racionális számot tartalmazni fogja, tehát A-ra bármilyen környezetet mondhatunk, mindig végtelen sok tagot fogunk találni a sorozatban, amik benne vannak a környezetben.

Ha a feladat esetleg a 0 környezetet is megengedi, akkor a sorozatot szórjuk még tele A-val, ahogy az 1-es válaszoló is tette, vagyis legyen például minden 5. tag A, a többi tagot pedig a fent leírtak szerint képezzük.

Könnyen belátható, hogy ez a sorozat nem lesz konvergens.

#3

"Végtelen sok eleme van, de a feladat valószínűleg KÜLÖNBÖZŐ elemekre gondolt."

Nem számít, hogy a feladat mire "gondolt". Az számít, ami le van írva.

Egyébként 1-es javaslata -egy kis módosítással- különböző elemekre is jó. Csak egy 0-hoz és egy A-hoz tartó sorozatot kell összefésülni és szintén megvan az ellenpélda.

"Tegyük fel, hogy az A ∈ R szám minden környezete az (a_n) sorozatnak végtelen sok tagját tartalmazza."

Röviden ez annyit tesz, hogy az "A", torlódási pontja a sorozatnak, mert tetszőleges kis környezetében végtelen sok "szám" van.

"Következik-e ebből az, hogy az (a_n) sorozat konvergens?"

Ha egy sorozatnak több torlódási pontja van, akkor az a sorozat divergens.

Ez esetben nem tudjuk, hogy az A torlódási ponton kívül van-e másik torlódási pont. Tehát nem következik.

#1, #5, #6-tal értek majdnem egyet. Jelenlegi matematikai tudással hibátlan válaszok.

#6 különösen tetszett, amit a torlódási pontokról mondtál. Jogos érvelés 😉.

Azért arra kíváncsi lennék, hogy a 2-es válasszal mégis mi a problémátok...

Attól függetlenül, hogy kicsit félreértettem a feladatot, a megadott példa ellenpélda arra az eredeti kérdésre, tehát jó válasz... Persze van egyszerűbb válasz is, de attól még az enyém is helyes.

És legalább azzal is találkozhatott a kérdező, hogy hogyan lehet felsorakoztatni a racionális számokat.

#8

Cantor megoldásának elfogadása megközelítés kérd