Mennyi 9^((2^11 - 1)^8) mod 17?

"Mennyi 9^((2^11 - 1)^8) mod 17?"

9^8 mod 17=1 (próbálgatással)

Vagyis a hatványban, ami voltaképpen szorzat, a 9-eseket nyolcasával eldobálva csak a maradékra kell megnézni a mod 17-et.

(2^11 - 1)^8 mod 8?

2^11 mod 8=0

(2^11 - 1)mod 8=7

7^8 mod 8=1

(2^11 - 1)^8 mod 8=1

Egy kilences marad. 9 mod 17=9

(Ha nem számoltam el valahol.)

"9^8 mod 17=1 (próbálgatással)"

Ezt a részt egy kicsit kiegészíteném.

Természetesen lehet "próbálgatni" is, csak van, amikor számológép nélkül nem olyan könnyű a klasszikus értelemben vett próbálgatás.

Azt fogjuk csinálni, hogy egymás után megnézzük a 9-es hatványok 17-es maradékait:

9^1 maradéka 9

9^2 maradéka 13

9^3 maradéka természetesen úgy is számolható, hogy kiszámoljuk 9^3 értékét, majd arra megnézzük a maradékot, de egyszerűbb számítás az, hogyha a maradékot szorozzuk 9-cel, és az így kapott szám maradékát vizsgáljuk; 13*9=117 maradéka 15. A továbbiakban ezt a felfedezést érdemes továbbvinni;

9^4 maradéka = 15*9 maradéka = 16

9^5 maradéka = 16*9 maradéka = 8

9^6 maradéka = 8*9 maradéka = 4

9^7 maradéka = 4*9 maradéka = 2

9^8 maradéka = 2*9 maradéka = 1

9^9 maradéka = 1*9 maradéka = 9

Nem nehéz rájönni, hogy innentől a maradékok ismétlődni fognak egy 8-as ciklusban, és a folytatás úgy alakul, ahogyan #6 leírta.

"erre való a számológép. Másodperc töredéke alatt kiírja a megoldást."

Nem létezik olyan számológép, amelyik pontos eredményt adna 9^((2^11 - 1)^8) szám 17-tel való osztására! Ez kb. egy 10-12 ezer jegyű szám, amit 1 egész pontossággal kellene osztani!

A másik dolog meg, hogy nincs 100 éve, hogy léteznek számoló/számítógépek, így ezeket a számításokat kénytelenek voltak a korábban élt emberek papíron levezetni, illetve komplett táblázatok voltak bizonyos értékekre (gyökvonás, trigonometrikus értékek, logaritmus, stb), amikkel lehetett a különféle számításokat egyszerűsíteni.

De ez igazából csak a jéghegy csúcsa; a matematikát sok esetben nem a végeredmény „érdekli”, hanem az ahhoz vezető út, ezeket hívjuk képleteknek.