Ez a matek feladat hogy jön ki?

Persze, ez így van. Gondolj megint a 2D esetre. Ha az x tengelyen lévő (1,0) pontot elforgatod az origó körül α szöggel, akkor a pont az egységkör mentén fog elmozdulni. Ennek az egységkörnek bármelyik pontjára igaz, hogy ha rávetíted az x tengelyre, akkor a sugárral együtt egy derékszögű háromszöget kapsz, melynek átfogója az egység hosszúságú sugár lesz. Szögfüggvényekkel felírva a befogókat (vagy ha úgy tetszik, a sugár mint vektor komponenseit) a szokásos jelölésekkel:

sin(α) = a/c, ahol c = 1, ezért a = sin(α)

cos(α) = b/c, ahol c = 1, ezért b = cos(α)

Tehát cos(α) lesz a vízszintes, sin(α) pedig a függőleges hosszúság, ezért az α szöggel elforgatott (1,0) pont a (cos(α), sin(α)) pontba fog kerülni.

Pontosan ezért látsz [cos(α), sin(α), 0]-t az általános mátrix első oszlopában (nyilván a harmadik, z komponens 0 lesz, hiszen nincs z irányú elmozdulás z tengely körüli forgatás esetén).

Ugyanígy belátható, hogy ha az y tengelyen lévő (0,1) pontot forgatjuk el α szöggel, akkor az meg a (–sin(α), cos(α)) pontba fog kerülni, ezért ez köszön vissza a mátrix középső oszlopából.

Az ilyen feladatoknál általában nevezetes forgató mátrixokat kell használni. Pl. egy 75 fokos forgató mátrixot úgy is megkapsz, ha összeszorzol egy 30 és egy 45 fokos mátrixot, hiszen a mátrixszorzás a két mátrix egymás utáni elvégzését jelenti, így épp 75 fokot fog forgatni az eredményül kapott mátrix.

A ±30, ±45, ±60 fokos forgató mátrix felírásához pedig csak a nevezetes sin30, cos30, sin45, cos45 értékek kellenek.

90-ből meg úgy lehet 15 fokot csinálni, hogy kivonod belőle a 30-at meg a 45-öt, azaz –30 ill. –45 fokos forgató mátrixszal szorzod össze a 90-es mátrixot.

Vagy csak szimplán a 60-ast szorzod egy –45 fokossal, és akkor nem is kell a 90-es hozzá.

Bárhogyan is, a szorzásnál a mátrixok sorrendjére figyelni kell, mert ha rossz a sorrend, akkor 15 helyett esetleg –15 fokos mátrixot kapsz.

A 90. hatvány ugye azt jelenti, hogy 90-szer szorozzuk meg a mátrixot önmagával (F^90), azaz 90-szer forgatunk 15 fokkal, összesen tehát 1350 fokkal. A 360 fokos forgatás ugye nem csinál semmit, ezért megnézte a megoldó, hogy a 360 hányszorosához esik az 1350 legközelebb: 4 × 360 = 1440, ez azonban felírható 15 többszöröseként is, hiszen mégiscsak 15 fokos az F mátrix: 96 × 15 = 4 × 360 = 1440. Ez lenne az F^96.

Mi a 90×15 fokos forgatásra vagyunk kíváncsiak (F^90), a 96×15-ről (F^96-ról) viszont tudjuk, hogy az 4 teljes, 360 fokos forgatásnak felel meg, azaz ténylegesen csak identitás mátrix, I. Magyarul, mi ennél 6 forgatással kevesebb forgatású mátrixot keresünk, azaz az identitáshoz képest –6×15 fokos mátrixot (F^–6), ami meg ugye épp egy –90 fokos mátrixot ad ki.

Az F^–6 és az F^90 ugyanazt a mátrixot jelenti valójában, hiszen F^–6 × F^96 = F^90 (a kitevők összeadása miatt), de az F^96-ról tudjuk, hogy végsősoron csak I, tehát F^–6 × I = F^90, azaz F^–6 = F^90.

Tehát azzal, hogy kiszámoltuk az F^–6-t, megválaszoltuk azt is, hogy mi lesz az F^90.