Ez a matek feladat hogy jön ki?

Ha csak ennyiből áll, akkor az elég baj. Az x vektorról semmit nem tudsz?

Ha x vektor (x1; x2; x3) akkor a z-tengely körüli elforgatottja:

(x2; -x1; x3).

A forgató mátrix egy marha bonyolult valaminek tűnik, pedig valójában létezik egy nagyon is egyszerű geometriai jelentése is – amiről sajnos én sem anno az egyetemen hallottam, csak jóval később. Szóval:

A forgató mátrix gyakorlatilag a koordináta-rendszer bázisvektorainak elforgatását írja le, a bázisvektorok meg ugye x̂ (1,0,0), ŷ (0,1,0), ẑ (0,0,1).

A mátrix tulajdonképpen azt írja le, hogy a forgatás után hová mutatnának a térben a bázisvektorok az eredeti koordindáta-rendszerben. Mármint, szó szerint ezt írja le, ez konkrétan egy az egyben kiolvasható belőle, hiszen az első oszlop lesz az x̂ elforgatott új értéke, a második oszlop lesz az ŷ elforgatott értéke, a harmadik oszlop pedig a ẑ elforgatott értéke.

Ez minden forgató mátrixra igaz, de 90 fokos forgatásnál nagyon leegyszerűsíti a mátrix felírását, hiszen fejben le tudjuk modellezni, melyik bázisvektor hová fog mutatni.

Az z tengely körül +90 fokkal elforgatva a bázisvektorokat, az x̂ éppen ráfordul a +y tengelyre, így a (0,1,0) pontba fog mutatni, ezért az első oszlop (0,1,0) lesz.

Az ŷ e forgatás hatására "ráfekszik" a –x tengelyre, így (–1,0,0)-ba fog mutatni, ezért ez lesz a mátrix középső oszlopa.

A ẑ pedig nyilván helyben marad egy z tengely körüli forgatás esetén, így a harmadik oszlopba értelemszerűen (0,0,1) kerül.

És kész.

Ez tényleg pofonegyszerű, nem?

7: Gondolj vissza a középiskolai forgatásokra. Ott az körző hegyét beszúrtuk a forgatás középpontjába, pl., az origóba, és a forgatandó alakzat minden csúcsából köríveztünk, így gyakorlatilag kijelöltük azt az útvonalat, ami mentén a csúcsok el fognak fordulni. De ugyanezt az eredményt akkor is elértük, ha átdöftük a körzőt a papíron, és aztán magát a papírt forgattuk el a fixen tartott körző alatt – az alakzat így is elfordult. Valójában nem is egy pont körül forgattunk, hanem egy, a ponton átmenő tengely körül.

Ilyenkor a körző szára volt a forgatás tengelye, mivel a forgatás sosem egy pont, hanem mindig egy forgástengely körül történik. (Forgató mátrix esetén a tengely ráadásul mindig keresztülmegy az origón.)

Ha belegondolsz, amikor a lapot elforgattad a körző alatt, alapvetően merőlegesen tartottad a körzőt a lapra, azaz merőlegesen az x és az y tengelyre is, azaz gyakorlatilag a körző szára volt a z tengely, így tulajdonképpen a 2D forgatást is 3D-ben végezted el, hiszen a forgástengely függőlegesen "kilógott" az x/y síkból, hiszen merőleges volt rá. Ez egyúttal arra is rávilágít, hogy az elfordulás síkja mindig merőleges a forgástengelyre, utóbbi előbbi normálvektoraként is felfogható. 2D-ben ez triviális, de 3D-ben is igaz, hogy a test egyes csúcsai egy-egy olyan síkban mozognak egy körív mentén, melyekre merőleges a forgástengely.

De az is belátható, hogy a forgástengely önmaga körül fordul el, így tényleges mozgást nem végez, ezért a forgástengelyen lévő pontok helyben maradnak, és a tengelyen lévő vektorok is helyben maradnak – ezeket hívják egyébként sajátvektornak, melynek ez esetben a sajátértéke λ=1, mivel a hossza 1-szeresére változik – azaz valójában nem változik.

Ha a z tengely körül fogatsz, amin a ẑ bázisvektor nyugszik, akkor a ẑ a forgatás egy λ=1 sajátértékű sajátvektora lesz, így iránya és hossza nem változik.

De használd a jobb kezed ujjait a vizualizáláshoz saját magadnak, én is azt szoktam. Feszítsd ki egymásra merőlegesen a hüvelyk-, mutató, és középső ujjadat, ezek fogják ebben a sorrendben megjeleníteni az x, y, z tengelyeket. Mutasson a hüvelykujjad (x tengely) jobbra, a mutató ujjad (y tengely) felfelé, a középső ujjad (z tengely) az arcod felé.

Most markold meg a bal kezeddel és fixáld vele a jobb kezed középső ujját, azaz a z tengelyt, de közben az továbbra is az arcod felé mutasson. Most kezdd el forgatni a jobb csuklódat úgy, hogy a bal markodban lévő, fixált ujjad körül foruljon el a másik két ujjad. Egy idő után a hüvelyujjad felfelé fog mutatni, a mutató ujjad meg balra, és ha jól csináltad, akkor a középső ujjad továbbra is az arcod felé fog mutatni. Ezzel megvalósítottál egy z tengely körüli forgatást, és látható, hogy a z tengely nem mozdult el a helyéről. És az is belátható, hogy a három tengely (bázisvektor) egymáshoz képest nem mozdult, mert nem mozdulhatott el, továbbra is merőlegesek egymásra, így ugyanazzal a jobb kezeddel tudod őket jelképezni.

Ha a z tengely íránya megfordult volna, mint ahogy írtad, akkor a középső ujjadnak az arcodtól elfelé kéne mutatnia a forgatás végén, miközben a hüvelykujjad felfelé, a mutató ujjad meg balra mutat. Ez a jobb kézzel nem lehetséges, csak a ballal, de a bal kéz itt nem játszik. Ebből látszik, hogy ez a forgatás nem lehet jó, mert csak az ujjad kitörésével tudnád előállítani ;).