Hogy tudom ezeket megoldani?

Az elsőnél számszerűsítsük az embereket: 1;2;3;4;5;6, ahol az 1 a legkisebb, a 6 a legnagyobb.

Ha a feladatot úgy érjük, hogy a két „szomszédos” nem lehet nála nagyobb, akkor a trükk az, hogy az 1-es csak a két szélére mehet. Ha őt eltesszük valahova, akkor a soron következő legkisebb a 2-es, akire szintén ugyanez igaz lesz, tehát vagy az 1-es mellé kell tennünk, vagy az átellenes oldalra kell tegyük. És így tovább.

Ennek megfelelően a 6-ost kivéve minden szám elhelyezésére 2-féle lehetőségünk van (a 6-osnak 1 hely marad mindenhogy), így 2*2*2*2*2*1=64-féle bevonulási sorrend lehetséges.

Valóban, az 32, elszámoltam.

Gondolkozom azon is.

B

Van. pl. 1122

Ha találunk konkrét példát (ahogy #5, bár felteszem, hogy ő is a következő módszerrel találta), akkor jók vagyunk.

Ha nem vagyunk ilyen szerencsések, akkor így is el lehet indulni; írjuk fel a csupa 1-ből álló számok 17-es maradékait:

1 -> 1

11 -> 11

111 -> 9

1111 -> 6

11111 -> 10

stb.

Azért a csupa 1 számjegyből álló számokat választottuk, mert ha valamelyik kettőt összeadjuk, akkor mindig megfelelő számot kapunk. Ha két számot összeadunk, akkor azok maradékai is összeadódnak, így már csak az a kérdés, hogy tudunk-e úgy összeadni számokat, hogy azok maradékainak összege osztható legyen 17-tel. Ilyen például a 11 és az 1111, mert ezek maradékainak összege 17 lesz, tehát azok összege is osztható lesz 17-tel.

#6

Igen, hasonló módszert használtam egy kis eltéréssel, ami több találatot adhat.

Én is felírtam a csupa 1-esből álló számok 17-es maradékát. És a 10 hatványainak maradékát is. Egy csupa 1-esből állóhoz kell a 10- hatványok közül hozzáadni. Úgy, hogy a maradékok összege osztható legyen 17-tel.

Így megtaláljuk az olyan számokat is, mint pl. a 2211122.

B)

Az összes meghatározására nincs ötletem (talán nincs is rá zárt képlet).

Viszont bizonyíthatóan végtelen ilyen szám van:

Ehhez egy egyszerű dolgot kell ismerni: oszthatóságnál a szorzás és az összeadás használható művelet. (Kongruencia fogalmát most is kihagynám, de leírom azzal is, ha van igény rá.)

Szóval, ha X-nek a 17-el osztott maradéka Y, akkor a 10X+1-nek a 17-el osztott maradéka ugyan az lesz, mint a 10Y+1 17-el osztott maradéka.

Ebből adódóan lehet kreálni végtelen ilyen számot, különböző szabályokat kitalálva, írjunk fel számsorozatokat:

1 - maradéka 1

11=1*10+1 - maradéka 1*10+1=11

111=11*10+1 - maradéka 11*10+1 maradéka: 9

1111=111*10+1 - maradéka 9*10+1 maradéka: 6

...

A szabály [az előző szám]*10+1, ha elég türelmesek vagyunk, akkor el fogunk jutni akár papíron is 16db egyesig, ahol maradéknak 0-át kapunk.

Ez nekünk azért lesz jó, mert itt egy "végtelen ciklusba" kerülünk:

1111111111111111 maradéka 0

11111111111111111=1111111111111111*10+1 maradéka 0*10+1=1

111111111111111111 maradéka 1*10+1=11

Szóval újra kezdődik az egész és a 32db 1-esnél eljutunk újra a 17-el való oszthatóságig.

Következésképpen: minden 16 többszörös számjegyű csupa egyesből álló szám osztható 17-el.

(Ugyan ez eljátszható 2,22,222,2222 esetén is, de újabb szabályokat is ki lehet találni, pl. 1,12,121,1212 - itt a ciklus nem az első oszthatóságnál lesz ez picit bonyolítja, de ugyan úgy ciklikus és végtelen ilyen számot generál.)

Még egy "érdekesség": ennek a technikai részleteibe nem mennék bele, mert az már felsőbb matematikai ismereteket igényel, de a 10^16-nak a 17-el vett maradéka 1 (nem hasra csapás, hanem tétel mondja ki, ugyancsak kifejtem, ha van rá igény). Ezért viszonylag könnyű az előzőek alapján végiggondolni, hogy ha van több tetszőleges 16 számjegyből álló számunk, mely a szabálynak megfelelő, és ezeket egymás után írjuk, akkor az így kapott szám is osztható lesz 17-el. (Ezt is levezetem, ha érdekel.)

Tehát ugyancsak végtelenségig lehet játszani, ugyebár 16db 1-es és 16db 2-esre már kifejtettem, hogy oszthatóak 17-el. Ezeket egymás után írva:

11111111111111112222222222222222 is osztható 17-el, vagy a 222222222222222211111111111111112222222222222222 is, és így tovább..

Erről egyébként érdekességképpen a wolframalpha honlapon is meggyőződhetsz:

[link]

Hangsúlyozom ez nem az összes 17-el osztható csupa 1 és 2-esből álló szám, viszont bizonyítja, hogy "kis játékkal" végtelen ilyen szám található.