Igazoljuk, hogy a 7 szám bármely hat egymásutáni páros hatványának összege osztható 43-mal. Mennyi az összeg utolsó számjegye?

Ez nyilván csak akkor értelmes, ha nemnegatív hatványokról beszélünk.

Ki kell számolni a legkisebbet és megnézni, hogy osztható-e 43-mal. Mert a többi is ebből a számból és valami 7-hatvány szorzóból fog állni. És ha kiszámolod, akkor ki fog derülni, hogy mi az utolsó számjegy a legkisebbnél. És egyből látszik majd, hogy a többinél is az.

Lehet, hogy van valami "analitikusabb" bizonyítás is erre az állításra, de hogy ez igényli a legkevesebb fantáziát, az nagyon valószínű. :-)

Az "analitikusabb" bizonyítás (a geogebrás maradékok adták az ötletet):

7^0=1-et 43-mal osztva a maradéka 1. Nézzük egy olyan mértani sorban a maradékokat, ahol a szorzó 7^2=49.

1; 49=43+6; 6*49=6*43+36; 36*49=36*43+36*6=36*43+216=36*43+5*43+1

Vagyis ez a maradékok sorozata, ismétlődően:..., 1, 6, 36, ... Amiknek az összege osztható 43-mal.

10-zel való osztásnál a maradékok:..., 1, 9, 1, 9, ...

1+9 osztható 10-zel

Kicsit algebraibb formában: a 7 nem-negatív páros hatványai a 49 nem-negatív hatványai (7^(2*n) = (7^2)^n = 49^n).

A 49 hat egymást követő hatványának az összege

49^n + 49^(n+1) + 49^(n+2) + 49^(n+3) + 49^(n+4) + 49^(n+5) =

= 49^n*(1 + 49 + 49^2 + 49^3 + 49^4 + 49^5).

A második tényezőre alkalmazva a mértani sorozat összegképletét ez

49^n * (49^6 – 1)/(49 – 1) = 49^n * (49^3 + 1)*(49^3 – 1)/48 =

= 49^n * (49 + 1)*(49^2 – 49 + 1) * (49 – 1)*(49^2 + 49 + 1)/48 =

= 49^n * 50 * (49^2 – 49 + 1)*(49^2 + 49 + 1),

ahol szeretnék hivatkozni az a^n ± b^n-re vonatkozó azonosságokra.

Az 50-es tényező miatt ez osztható 10-zel, tehát az összeg 0-ra végződik, és ha kicsit gyúrjuk az utolsó tagot (vagy csak kiszámoljuk, mennyi (49*49 + 50)/43…), akkor látjuk, hogy 43-mal is osztható a szorzat, és ezt kellett bebizonyítani.

49^2 + 49 + 1 = 7^4 + 7^2 + 1 = (7^2 – 7 + 1)*(7^2 + 7 + 1) = 43*57.