Adott az f:R->R f(x) =x^2-6x-m. Határozd meg az m értékét úgy hogy az f függvény legkisebb értéke 10legyen?

1. Deriváld a függvény, ebből kiderül, hogy a minimuma x=3 helyen van, függetlenül az m értékétől.

2. Ezután nem nehéz kiszámolni, hogy mennyi legyen m, ha a minimumnak 10-nek kell lennie (m=-19 egyébként).

Az #1 megoldása is jó, csak valószínűleg középszintű feladatról van szó, ott meg a deriválás nem nagyon megy.

Gyakorlatilag az a kérdés, hogy az

x^2-6x-m = 10

egyenletnek milyen m érték esetén lesz pontosan 1 megoldása. Vonjunk ki 10-et:

x^2-6x-m-10=0

Tudjuk, hogy egy másodfokú egyenletnek csak akkor van pontosan 1 megoldása, hogyha a megoldóképletben lévő diszkrimináns (a gyökjel alatti rész) 0. A megoldóképletben a=1, b=-6, c=-m-10, a gyökjel alatti rész b^2-4ac, ennek kell 0-nak lennie. Behelyettesítés után:

(-6)^2-4*1*(-m-10) = 0, ezt az egyenletet kell megoldanunk, amivel megkapjuk a keresett m értékét. Kibontjuk a zárójeleket:

36 + 40 + 4m = 0,

4m = -76,

m = -19, tehát m helyére a (-19)-et kell választanunk.

Másik lehetőség: alakítsuk teljes négyzetté a függvényt:

x^2-6x-m = (x-3)^2-9-m

Ebből kiolvasható, hogy a függvény a legkisebb értékét az x=3 helyen fogja felvenni (azért, mert ha x=3, akkor a 0-t kapjuk a négyzetre emelés eredményeként, de ha nem a 3-at írjuk, akkor az eredmény mindenképp pozitív lesz, ami több a 0-nál), innen pedig csak az a kérdés, hogy a (-9-m) mikor lesz 10, ez pedig m=-19 esetén lesz így.

Vagy nézzük meg, mi lenne a legkisebb érték, ha nem lenne ott az m:

x^2 – 6*x = (x – 3)^2 – 9.

Ugye (x + b)^2 = x^2 + 2*x*b + b^2, így a jobb oldalon az első tagba olyan számot kell írni, amit 2-vel szorozva –6-ot kapunk, tehát –3-at, ezzel a jobb oldalon az első 2 tag stimmel, és mivel még lenne egy 3. tag, ami (–3)^2 = 9-et ad, ezért ennyit le kell vonnunk a végén, hogy az egyenlőség teljesüljön.

Ennek a minimuma pedig –9, mert az első tag valaminek a négyzete (nem lehet 0-nál kisebb), de 0 lehet, például x = 3 esetén.

A kérdés már csak az, hogy milyen m konstanst kell kivonni a –9-ből, hogy 10-et kapjunk?

–9 – m = 10,

–9 – 10 = m,

tehát m = –19 a végeredmény.

(Észrevétel: nem részleteztem, hogy miért teljesül az (x + b)^2 = x^2 + 2*x*b + b^2 egyenlőség. Visszatudod ezt vezetni a szorzás és összeadás alaptulajdonságaira?)