Mennyi az f (x) =sqrt (x^4-x^2+1) függvény [-1,2]-on felvett legnagyobb és legkisebb értéke?

f(x) = √(x⁴-x²+1) = (x⁴-x²+1)^(1/2)

deriváltja:

f' = 1/2·(4x³−2x)/√(x⁴-x²+1)

f' = x(2x²-1)/√(x⁴-x²+1)

f' = 2x(x-1/√2)(x+1/√2)/√(x⁴-x²+1)

Ennek zérushelyei:

x1 = 0

x2 = 1/√2

x3 = -1/√2

A derivált előjelét a számláló határozza meg, mert a nevező mindig pozitív.

x<x3 esetén a derivált negatív (szig.monoton csökken),

x3<x<0 között pozitív (szig.mon. nő)

0<x<x2 között negatív (szig.mon. csökken)

x2<x esetén pozitív (szig.mon. nő)

Vagyis ilyesmi alakú a függvény: \/\/

0: itt van lokális maximum

x2, x3: itt vannak lokális minimumok

lokális maximum értéke: f(0) = 1

lokális minimum értéke: f(1/√2) = f(−1/√2) = √3/2

A lokális minimumok abszolút minimumok is (a függvény menete miatt máshol nem lehet kisebb érték), a maximum miatt viszont még meg kell nézni az intervallum határain is a függvényértéket:

f(-1) = 1

f(2) = √13

Szóval az intervallumon a maximum √13, a minimum √3/2