Ezt valaki elmagyarázza erthetobben?

"f(x)-g(x)=h(x). Ebből hogyan lesz ez: f(-x)-g(x)=-h(x)."

1. Egy f(x) függvényben x helyébe írhatsz -x-et is. Az értelmezési tartomány ugyanaz marad és miért ne számolhatnád mondjuk f(z) értékeit, ahol z=-x.

2. Ezek után az f(x)-g(x)=h(x) egyenletből f(-x)-g(-x)=h(-x) lesz. De mivel g(x) páros, ezért g(-x)=g(x). A páratlan h(-x)=-h(x)

3. Add össze a 2 egyenletet és a -2g(x)-et vidd át a jobboldalra.

"Amit nem értek:

f(x)-g(x)=h(x). Ebből hogyan lesz ez:

f(-x)-g(x)=-h(x)."

Az f(x)-g(x)=h(x) függvényegyenlet a feltevés szerint minden x-re igaz, ez azt jelenti, hogy minden x ellentettjére is, vagyis:

f(-x)-g(-x)=h(-x)

Az f(-x) marad f(-x), mert arról nem tudunk semmit.

A g(x) függvényről tudjuk, hogy páros, ami azt jelenti, hogy tetszőleges x-re g(x)=g(-x), tehát a g(-x) visszaalakul g(x)-re (ezt úgy érdemes felfogni, hogy páros függvény esetén mindegy, hogy egy számot vagy annak ellentettjét írjuk, a függvényérték mindig ugyanaz lesz, például 5^2=25, (-5)^2=25).

A h(x) függvényről tudjuk, hogy páratlan, ami azt jelenti, hogy tetszőleges x-re -h(x)=h(-x) (ezt úgy érdemes felfogni, hogy a negatív előjel (de csak a negatív előjel) "kihozható a függvényből", például (-5)^3=125, -(5^3)=125).

Így kapjuk azt az egyenletet, hogy

f(-x)-g(x)=-h(x)

Mivel a

f(x)-g(x)=h(x) és f(-x)-g(x)=-h(x) egyenletek egy időben kell, hogy teljesüljenek, ezért egyenletrendszert alkotnak, amiknél tanultuk, hogy össze lehet adni és ki lehet vonni őket egymásból;

-ha összeadjuk őket:

f(x) + f(-x) -2*g(x) = 0, ebből rendezés után kapjuk, hogy (f(x)+f(-x))/2=g(x)

-ha kivonjuk őket:

f(x) - f(-x) = 2*h(x), innen pedig (f(x)-f(-x))/2 = h(x).