Valaki segítene ezekben légyszi? Nem értem... (Trigonometrikus egyenletek)

Bár az első le lett pontozva, nem mondott hülyeséget, mivel ez is egy lehetőség. A 2-esben látható feladatokhoz hasonló összefüggésekkel lehet előrébb jutni.

Amit konkrétan szoktak tanítani; hegyesszög szinusza megegyezik a hegyesszög pótszögének koszinuszával, vagyis sin(x)=cos(90°-x), radiánban pedig sin(x)=cos(pi/2 - x). Ugyanez fordítva is igaz, vagyis cos(x)=sin(pi/2 - x). Illetve természetesen a periódussal eltoltakra is igaz ugyanez, vagyis sin(x)=cos(pi/2 - x + k*2pi) és cos(x)=sin(pi/2 - x + k*2pi), minden esetben k helyére csak egész számok írhatóak.

Én azt szoktam ajánlani, hogy ilyen egyenleteknél mindig érdemes a szinuszt "átváltani" koszinuszra, mivel a megoldást le tudjuk egyszerűsíteni egy "+-"-szal, ezért mindegyiknél a sin(x)=cos(pi/2 - x + k*2pi) azonosságot használom;

a) A jobb oldalon lévő szinusz így írható át:

sin(x - pi/4) = cos(pi/2 -(x - pi/4) + k*2pi), vagyis

= cos(3pi/4 - x + k*2pi), tehát ezt az egyenletet kapjuk:

cos(x) = cos(3pi/4 - x + k*2pi)

És most jön az, amit az előbb írtam; mivel tudjuk, hogy cos(x)=cos(-x), vagyis egy szám koszinusza és annak ellentétének koszinusza is ugyanannyi, ezért csak annyi a dolgunk, hogy a négyzetgyökvonásnál tapasztalt "+-" szerint számolunk tovább;

x = +- (3pi/4 - x + k*2pi), innen tehát két egyenletet kapunk.

Egyik egyenlet (+):

x = 3pi/4 - x + k*2pi, ennek megoldása

x = 3pi/8 + k*pi, tehát ez az egyik megoldáshalmaz.

Másik egyenlet (-):

x = - (3pi/4 - x + k*2pi), zárójelbontás után

x = -3pi/4 + x + k*2pi, végül

0 = -3pi/4 + k*2pi, ez pedig ellentmondás.

A másik kettőt ez alapján próbáld megoldani.

A 3-as feladatban lévők eléggé komplikáltak, de nem lehetetlen őket megoldani;

a) Ha tudod a megfelelő addíciós képletet, akkor az lesz a trükk, hogy szorzunk (1/2)-del;

1/2 * sin(x) - gyök(3)/2 * cos(x) = 1/2

Tudjuk, hogy 1/2=sin(30°) és gyök(3)/2=cos(30°), ezért:

sin(30°) * sin(x) - cos(30°) * cos(x) = 1/2, majd szorzunk (-1)-gyel:

cos(30°) * cos(x) - sin(30°) * sin(x) = -1/2, itt pedig észrevehetjük, hogy a bal oldalon a cos(a+b) = cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b) azonosság látható, ennek megfelelően a bal oldalt fel tudjuk írni cos(30°+x) alakban:

cos(30°+x) = -1/2, illetve radiánban:

cos(pi/6 + x) = -1/2, ez pedig nem okozhat kihívást.

Ha ezt esetleg nem vesszük észre, akkor a négyzetre emeléssel is lehet számolni; először rendezzük az egyenletet:

sin(x) - 1 = gyök(3)*cos(x), most négyzetre emelünk:

sin^2(x) - 2*sin(x) + 1 = 3*cos^2(x), itt használjuk a sin^2(x)+cos^2(x)=1 azonosságot a bal oldalon; rendezve az azonosságot: cos^2(x)=1-sin^2(x), így tehát

sin^2(x) - 2*sin(x) + 1 = 3*(1-sin^2(x))

Ez pedig egy másodfokúra visszavezethető egyenlet.

Arra viszont oda kell figyelnünk, hogy a négyzetre emeléssel születhettek gyökök, tehát a megoldáshalmazból ki kellene szitálni a hamis megoldásokat. Ennek a megoldási módnak ez a hátránya.

A másik kettő is megoldható négyzetre emeléssel, de ott más dolgokra kell odafigyelni.