Egy számtani sorozat első három tagjának összege -9, a harmadik, negyedik és ötödik tag összege pedig 39. Melyik ez a sorozat?

Először írjuk fel az állításokat matmatikailag;

a(1) + a(2) + a(3) = -9

a(3) + a(4) + a(5) = 39

A két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, ezért ezek egyenletrendszert alkotnak.

Az ilyen feladatokat jellezően úgy szoktuk megoldani, hogy a sorozat tagjait a(1) és d segítségével felírjuk, így a két egyenletben csak a(1) és d lesz az ismeretlen. Most:

a(1) + a(1)+d + a(1)+2d = -9

a(1)+2d + a(1)+3d + a(1)+4d = 39

Vonjunk össze az egyenletekben;

3*a(1) + 3d = -9

3*a(1) + 9d = 39

Ha a két egyenletet kivonjuk egymásból, akkor a(1) kiesik, ami marad:

6d = 48, erre d=8 adódik, tehát a sorozat differenciája 8.

Az a(1)-et úgy kapjuk, hogy valamelyik egyenletbe behelyettesítünk;

3*a(1) + 3*8 = -9, ennek megoldása a(1) = -11, tehát a sorozat első tagja (-11).

Ellenőrzés: írjuk fel a sorozat első 5 tagját;

-11 ; -3 ; 5 ; 13 ; 21

Az első három tag összege: -11+(-3)+5=-9, ez teljesül.

A harmadik tagtól kezdve a három tag összege: 5+13+21=39, ez is teljesül.

Tehát jól számoltunk, és a sorozat első tagja (-11), differenciája 8.