Egy számtani sorozat első három tagjának összege 51. Ha az első tagból nyolcat a második tagból hetet a harmadik tagból egyet el veszünk egy mértani sorozatot kapunk. Melyek ezek a sorozatok?

első tag legyen x-d

második tag legyen x

harmadik tag legyen x+d

Ekkor a számtani sorozat első három tagjának az összege:

x-d+x+x+d=51 amiből 3x=51 és x=17

Az a számtani sorozat tagjai: 17-d; 17; 17+d

A feladat szövege alapján amértani sorozat tagjai:

17-d-8; 17-7; 17+d-1 ezeket összevonva

9-d; 10; 16+d

Ezekre felírod a mértani közepet (a két szélső tag szorzatának a négyzetgyöke egyenlő a klözépső taggal; másképpen a két szélső tag szorzata egyenlő a középső négyzetével):

10^2=(9-d)*(16+d)

100=144+9d-16d-d^2

0=-d^2-7d+44

d=-11 és d=4

1. megoldás:

sz.s.: 28; 17; 6 itt d=-11

m.s.: 20; 10; 5 itt q=1/2

2. megoldás:

sz.s.: 13; 17; 21 itt d=4

m.s.: 5; 10; 20 itt q=2

Írjuk fel matek nyelven, amit a feladat mond!

1. állítás:

a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) = 51

2. második állítás:

(a1 + d - 7) / (a1 - 8) = (a1 + 2d - 1) / (a1 + d - 7)

Van két ismeretlenünk és két egyenletünk, innen nincs probléma. Először kifejezzük d-t az első egyenletből.

3a1 + 3d = 51

a1 + d = 17

d = 17 - a1

Ezt fogjuk behelyettesíteni a 2. egyenletbe.

(a1 + (17-a1) - 7) / (a1 - 8) = (a1 + (34-2a1) - 1) / (a1 + (17-a1) - 7)

10 / (a1 - 8) = (33 - a1) / 10

100 / (a1 - 8) = 33 - a1

100 = (33 - a1)(a1 - 8)

100 = 33a1 - a1² - 264 + 8a1

- a1² + 41 a1 - 264 = 100

- a1² + 41 a1 - 364 = 0

a1² - 41 a1 + 364 = 0

==>

a1 = 28, ekkor d = -11, vagy

a1 = 13, ekkor d = 4

Ellenőrzés

28, 17, 6, ...

20, 10, 5 ==> mértani sorozat, tehát az első megoldás jó.

13, 17, 21, ...

5, 10, 20 ==> mértani sorozat, tehát a második megoldás jó.

Az én megoldásom itt látható:

[link]

(A harmadik feladat ! )