Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 0. A harmadik tag 7. Mennyi a 2008. elem?

felirod a 3. taggal

7/q^2+7/q+7+7*q=0 /q^2

7+7q+7q^2+7q^3=0 /:7

1+q+q^2+q^3=0

q^2(q+1)+q+1=0

(q+1)(q^2+1)=0

ennek csak egy valós gyöke van

q+1=0

q=-1

Tehát a1=7

q=-1

2008=a1*q^2007

7*(-1)^2007=7*-1=-7

Levezetve:

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)

Fejezzük ki előbb az első tagot a harmadikból:

an = a1 * q^(n-1)

a3 = a1 * q^2

7 = a1 * q^2

a1 = 7 / q^2

Jöhet újra:

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)

S4 = a1 * (q^4 - 1) / (q - 1)

0 = 7 / q^2 * (q^4 - 1) / (q - 1)

0 = (7q^4 - 7) / (q^3 - q^2)

Ez akkor 0, ha a számláló nulla

7q^4 - 7 = 0

q^4 - 1 = 0

(q^2 - 1)(q^2 + 1) = 0

q = 1 vagy q = -1

De q = 1 esetén a nevező "q^3 - q^2" nulla, tehát csak a q=-1 a megoldás.

Mivel "a1 = 7 / q^2", így a1 = 7

a2008 = a1 * q^2007

a2008 = 7 * (-1)^2007 = -7

Logikusan:

Ha az első 4 tag összege 0, az csak úgy lehet, ha minden tag 0 (de ezt kizárja, hogy a harmadik 7), vagy ha ugyanazokat a számokat adjuk össze, de különböző előjellel.

Tehát q=-1