Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege 2, kilencedik és harmadik tagjának különbsége 24. Mennyi az első tíz tag összege?

a2 + a8 = 2

a9 - a3 = 24

a1 + d + a1 + 7d = 2

a1 + 8d - a1 - 2d = 24

2a1 + 8d = 2

6d = 24

a1 + 4d = 2

d = 4

a1 + 4*4 = 2

a1 + 16 = 2

a1 = -14

S10 = (2a1 + (10-1)*d)*10/2 = ?

Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege 2, kilencedik és harmadik tagjának különbsége 24. Mennyi az első tíz tag összege?

2. tag (a2): a1 + (2-1)*d = a1 + 1*d = a1 + d

3. tag (a3): a1 + (3-1)*d = a1 + 2*d

8. tag (a8): a1 + (8-1)*d = a1 + 7*d

9. tag (a9): a1 + (9-1)*d = a1 + 8*d

①

a2 + a8 = 2

a1 + d + a1 + 7*d = 2

2*a1 + 8*d = 2

②

a9 – a3 = 24

a1 + 8*d – (a1 + 2*d) = 24

a1 + 8*d – a1 – 2*d = 24

6*d = 24

d = 4 ← ezt behelyettesítve ①-be:

2*a1 + 8*4 = 2

2*a1 + 32 = 2

2*a1 = -30

a1 = -15

Ellenőrzés:

-15, -11, -7, -3, 1, 5, 9, 13, 17 a sorozat első 9 tagja.

-11 + 13 = 2

17 – (-7) = 17 + 7 = 24

A 10. tagot kétféleképpen is kiszámíthatjuk:

1.) folytatjuk a 9 tagig megírt sorozatot: 17 + 4 =21.

2.) a1 és d ismeretében, képlettel: a1 + (10-1)*d = a1 + 9*d = -15 + 9*4 = -15 + 36 = 21.

Az első 10 tag összege: (a1 + a10) * (10/2) = (-15 + 21) * 5 = 6 * 5 = 30.