Ezt a matematikai egyenletet hogyan oldanátok meg?

2021-et felbontanám prímtényezőkre: 43*47.

Ha az első tört nevezője 43, akkor az osztás után 47-et kapunk.

A másik törtnél pedig 47-tel osztva 43-at.

43 + 47 = 90

Nyilván 1-gyel és 2021-gyel is osztható a 2021, de akkor nem jön ki a 90.

-------------

Ezen kívül addig tudtam eljutni, hogy:

4042x / (x^2 - y^2) = 90

De ez nem tudom, segít-e.

Szorzunk a nevezőkkel;

2021*(x-y) + 2021*(x+y) = 90*(x-y)*(x+y), kibontjuk a zárójeleket a bal oldalon:

2021x-2021y + 2021x+2021y = 90*(x-y)*(x+y), össze tudunk vonni:

4042x = 90*(x-y)*(x+y), írjuk fel a konstansokat prímtényzős alakban:

2*43*47*x = 2*3*3*5*(x-y)*(x+y), tudunk osztani 2-vel:

43*47*x = 3*3*5*(x-y)*(x+y)

Az biztos, hogy a jobb oldal osztható 3*3*5=45-tel, a bal oldal pedig csak úgy tud 45-tel osztható lenni, hogyha x a 45-nek egész számú többszöröse. Most nézzük meg egyesével, hogy mi történik, ha az x helyére 45 egés számú többszöröseit írjuk;

x=0: 43*47*0 = 3*3*5*(0-y)*(0+y), ennek megoldása y=0, ami nem lehet, mert x=/=y

x=45: 43*47*45 = 3*3*5*(45-y)*(45+y), ennek megoldása y=2 és y=(-2), de utóbbi nem természetes szám, így a megoldás: x=45 és y=2.

x=90: 43*47*90 = 3*3*5*(90-y)*(90+y), ennek megoldása irracionális.

x=135: 43*47*135 = 3*3*5*(135-y)*(135+y), ennek is irracionális a megoldása.

Azt sejtjük, hogy több megoldás nincs. Próbáljuk meg ezt belátni. Azt megállapítottuk, hogy x=45k alakú, ezt a helyettesítést tegyük meg;

43*47*45k = 3*3*5*(45k-y)*(45k+y), most tudunk osztani 45-tel:

43*47*k = (45k-y)*(45k+y)

A bal oldal biztosan osztható k-val. Ha k=1, akkor semmi probléma nincs;

43*47 = (45-y)*(45+y), ennek megoldása y=2, amit már korábban megkaptunk.

Ha k legalább 2, akkor nem tudjuk, hogy prímszám-e vagy sem, így a mindenféle oszthatóságra nehezen lehetne hivatkozni. Az viszont biztos, hogy a bal oldal még mindig osztható 43-mal és 45-tel, és nyilván 45k-y<45k+y, emiatt csak előbbi lehet 43 többszöröse, utóbbi pedig 47 többszöröse, tehát:

45k-y = 43*s

45k+y = 47*t, ahol s;t valami egész számok. Ha most a két egyenletet összeadjuk:

90k = 43*s+47*t, ezt fogjuk felhasználni; a

43*47*k = (45k-y)*(45k+y) egyenletet szorozzuk meg 90-nel:

43*47*90k = 90*(45-y)*(45+y), most pedig helyettesítsünk be;

43*47*(43s+47t) = 43s * 47t, osztunk 43-mal és 47-tel:

43s + 47t = s * t, vonjunk ki 43s-nyit:

47t = s*t - 43s, emeljünk ki s-set:

47t = s*(t-43), a t=43 nem megoldás, így oszthatunk (t-43)-mal:

47t/(t-43) = s, elvégezzük a bal oldalon az osztást:

47t/(t-43) = (47t - 47*43 + 47*43)/(t-43) = 47 + (47*43)/(t-43), tehát

47 + (47*43)/(t-43) = s, vagyis

47 + (2021)/(t-43) = s

Az s csak úgy tud egész lenni, hogyha 2021/(t-43) egész. Ennek már véges sok megoldása van, ráadásul eléggé kevés, úgyhogy emberi időn belül ki lehet találni, hogy még hány megoldása létezhet. Aki akarja, innen be tudja fejezni.

A negyedik válaszoló levezetése helyes, de szerintem baromi bonyolult, itt egy egyszerűbb:

2021-nek csak két prím osztója van, 43 és 47. Ezek összege pont 90, tehát az egyenlet bal oldalán lévő törtek értékeinek 43-nak és 47-nek kell lenniük. Következésképpen a nevezőik értéke 47 és 43:

x+y=47

x-y=43

Van két ismeretlenünk és két egyszerű egyenletünk, ezt már könnyű megoldani. Fejezzük ki x-et az első egyenlet segítségével, majd ezt helyettesítsük be a másodikba!

X=47-y

47-y-y=43, átrendezve:

4=2y, tehát y=2. Visszahelyettesítve megkapjuk x-et: x=47-2=45.

A megoldás tehát x=45, y=2. (Ha az egyenleteket úgy írjuk fel, hogy x+y=43 és x-y=47, akkor y=-2-t kapunk, de ez nem jó mert -2 nem természetes szám.)

"Igen, a feladat is azt írja, oldjuk meg az egész számok halmazán."

Én azt látom a képen, hogy "Oldjuk meg a természetes számok halmazán".