Hogyan oldanátok meg ez alábbi, felső matematikai statisztikához tartozó feladatot (a megoldás lépésről-lépésre levezetését szeretném kérni)? "Írja fel a (0.5,1.3), (1.2,2.2), (2.5,3.4) ponthalmazra legjobban illeszkedő egyenes egyenletét! "

Nem is kell rákeresni, rögtön ha beütöd Excelbe az adatokat és diagramot készítesz belőle, akkor lehet rá trendvonalat illeszteni.

Amúgy legkisebb négyzetek módszere. A lényeg az, hogy amennyiben a pontok x koordinátája egyiknél sem egyezik, akkor illeszthetünk rá egy lineáris függvényt. Az adott x koordinátájú pontok függvényértéktől való eltéréseinek a négyzete pedig a lehető legkisebbnek kell lennie.

Tegyük fel, hogy van n darab (x(i), y(i)) pontunk és illeszteni akarunk rá egy (ax + b) egyenest. A feladat az "a" és "b" paraméterek meghatározása.

Egy pont eltérése az egyenestől y(i) - (a*x(i) + b)

Azt mondjuk, hogy ezen hibáknak a négyzetösszege legyen a lehető legkisebb, tehát:

Summa(i=0 -> i=n) (y(i) - ax(i) - b)^2 = min

Ez egy egyszerű szélsőértékkeresési feladat. A fenti képletből "a" és "b"-szerinti parciális deriválással a következő két egyenletet hámozhatjuk ki:

Summa(i=0 -> i=n) 2(y(i) - ax(i) - b)*(-x(i)) = 0

kicsit szebb alakra hozva (és csak summát írva)

Summa(x(i)*y(i) - ax(i)^2 -bx(i)) = 0

Ez kibontva:

Summa(x(i)*y(i)) - a*Summa(x(i)^2) - b*Summa(x(i)) = 0

és

Summa(2*(y(i) - ax(i) - b)*(-1)) = 0

azaz

Summa(y(i) - ax(i) - b) = 0

Kibontva pedig:

Summa(y(i)) - a*Summa(x(i)) - nb = 0

Ez egy lineáris egyenletrendszert eredményez:

Summa(x(i)*y(i)) - a*Summa(x(i)^2) - b*Summa(x(i)) = 0

Summa(y(i)) - a*Summa(x(i)) - nb = 0

Innen megoldod "a"-ra és "b"-re és megvan az egyenesed.

A többit meghagyom neked :)