Határozd meg az m 𝛜 R paraméter értékét tudva, hogy az f : R → R ,f(x) = x^2 + mx - 2m függvény metszi az Ox tengelyt két pontban, melyek távolsága 3. Tudja ennek valaki a megoldását?

"Tudja ennek valaki a megoldását?"

Hogy erre a konkrét kérdésre válaszoljak, az m értékét valószínűleg nagyon kevesen tudják. De sokan tudhatják, hogy hogyan kell kiszámolni. Te is tartozhatsz az utóbbiak közé.

"metszi az Ox tengelyt két pontban, melyek távolsága 3."

Ez azt jelenti, hogy x két megoldásának különbsége 3. Írd fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét, és látni fogod, hogy mi a két megoldás különbsége. Ha ez egyenlővé teszed 3-mal, akkor kapsz egy egyenletet m-re.

"Akkor valami, ilyen eredmény jönne ki, így kellene?"

Majdnem. Csak az utolsó egyenlet nem jó.

Helyette:

m1 - m2 = 3. m1-et és m2-őt fel kell írni a megoldóképlettel és akkor lesz egy egyenleted m-re.

"m1 - m2 = 3. m1-et és m2-őt fel kell írni a megoldóképlettel és akkor lesz egy egyenleted m-re."

Ezt rosszul írtam. Helyesen:

x1 - x2 = 3. x1-et és x2-őt fel kell írni a megoldóképlettel és akkor lesz egy egyenleted m-re.

És a másodfokú megoldóképletet nem pontosan írtad fel magadnak, vagy rosszul helyetetsítettél be.

x1,2 = (-b+-sqrt(b2-4ac))/2a

Az elején -b van.

Ebben az esetben jó ez a megoldási mód is, mivel egy könnyen kezelhető gyökös egyenletet kapunk.

Hasonló feladatoknál így lehet eljárni; tudjuk, hogy az ax^2+bx+c alakú kifejezés szélsőértéke x=-b/(2a)-nál van, esetünkben x=-m/(2*1)=-m/2-nél. Azt tudjuk biztosan, hogy a gyökök ettől a szélsőértékhelytől egyenlő távolságra vannak, tehát felírhatóak valami -m/2-k és -m/2+k alakban, ahol k valamilyen nemnegatív egész. Ezek különbsége 3 kell, hogy legyen, tehát ránézésre k értéke 1,5. Ez azt jelenti, hogy a kifejezés két gyöke -m/2-1,5 és -m/2+1,5.

Azt is tudjuk, hogy minden másodfokú kifejezés felírható a*(x-x1)*(x-x2) alakban, ahol x1 és x2 a másodfokú kifejezés két gyöke (amik speciális esetben egybe is eshetnek), 'a' pedig a főegyüttható, tehát a kifejezésünk biztosan felírható 1*( x-(-m/2-1,5) )*( x-(-m/2+1,5) ) alakban, ennek minden x-re meg kell egyeznie az eredetivel:

x^2 + mx - 2m = 1*( x-(-m/2-1,5) )*( x-(-m/2+1,5) ), zárójelbontás után

x^2 + mx - 2m = x^2 + mx + 0,25*m^2 - 2,25, itt a megfelelő tagok együtthatóinak meg kell egyezniük;

a = 1 = 1, ez mindig igaz

b = m = m, ez is

c = -2m = 0,25m^2-2,25, tehát ezt az egyenletet kell csak megoldanunk:

-2m = 0,25m^2 - 2,25, ennek megoldásai m=-9 és m=1. Az ellenőrzést rád hagyom.

#6

Megoldottad a másodfokú egyenletet a megoldóképlet nélkül. Gyakorlatilag levezetted a megoldóképlet bizonyítását. De minek? A megoldóképlet minden másodfokúra megadja a megoldást.

Nem akartam a teljes munkát elvégezni a kérdező helyett, de ha már kiszámoltad, én is befejezem a számolásomat:

x1 - x2 = 3

-m+sqrt(m^2+8m)/2 - (m-sqrt(m^2+8m)/2) = 3

sqrt(m^2+8m)=3

m^2+8m-9=0

m1,2=(-8+-sqrt(64+36))/2=(-8+-10)/2=1 és -9.

Ennyi az egész, pedig minden apró lépést leírtam.