Az a>0 valós paraméter melyik esetén lesz az x²+a=√x-a (Az egész x-a gyökér alatt van) egyenletnek pontosan egy megoldása a valóságban számok halmazán? Mi ekkor az egyenlet megoldása?

Grafikusan:

[link]

9.-es feladatnak ez azért meredek. Szimplán algebrai megoldást nem is látok hirtelen.

Abból lehet kiindulni, hogy észrevesszük, hogy az egyenlet két oldala inverze egymásnak. Az inverz gyakorlatilag azt jelenti, hogy megfordítja a hozzárendelést; a legtöbb esetben mi x|->y hozzárendelést használunk, de sok esetben kérdés, hogy az y milyen x-hez van hozzárendelve, ekkor az y|->x szerint kell néznünk a függvényt, ami ugyanúgy felírható x-től függően. Ennek geometriai jelentősége az, hogy a függvény görbéjét tengelyesen tükrözzük az y=x függvényű egyenesre. Ebből fakadóan csak azokban a pontokban metszhetik egymást a görbék, amelyek az y=x egyenesen rajta vannak. Így csak annyi a dolgunk, hogy megoldjuk az

x^2+a=x egyenletet. Rendezzük a szokásos módon:

x^2-x+a=0, és megoldóképlettel megoldjuk:

x = (1+-gyök(1-4a))/2

A feladat szerint nekünk pontosan 1 darab megoldást kell kapnunk, ehhez a gyökjel alatt 0-nak kell lennie, tehát

1-4a=0, vagyis a=0,25 (ami a GeoGebrán is látható).

Tehát a=0,25 esetén lehet az egyenletnek pontosan egy megoldása. Mivel már tudod az a paraméter értékét, ezért csak beírod az egyenletbe, és meg tudod oldani x-re.

Ezek szerint még másodfokú egyenletet sem tanultál.

Akkor marad a grafikus megoldás:

ha a=1/4, akkor az egyenlet egyetlen megoldása 1/2.