Hány 6-tal osztható 7-jegyű számot adhatunk meg a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek segítségével, ha minden számjegyet annyiszor használunk fel, amennyiszer akarunk?

Azzal kell kezdeni, hogy a számjegyeket átkonvertálod 3-as maradékuk szerint: 0, 1, 2

Most az a kérdés, hogy ezekből a számjegyekből hányféleképpen lehet olyan összeget képezni, ami osztható 3-mal. Először sorrendtől függetlenül szedjük össze az eseteket, érdemes úgy leírni a számjegyeket, hogy csökkenő sorrendben legyenek;

-az összeg 0: 0000000

-az összeg 3: 2100000, 1110000

-az összeg 6: 2220000, 2211000, 2111100, 1111110

-az összeg 9: 2222100, 2221110, 2211111

-az összeg 12: 2222220, 2222211

-az összeg 15: maximum 14 lehet, úgyhogy kész vagyunk.

Találtunk 12, egymástól különböző esetet. Ezeket még ismétlésesen kell permutálnunk, majd a kérdés, hogy a számjegyeket hányféleképpen lehet feltölteni; 0-s helyére 0-t vagy 3-at, az 1-es helyére 1-et vagy 4-et, a 2-es helyére 2-t vagy 5-öt írhatunk, illetve még olyan megkötés van, hogy az első számjegy nem lehet 0, és az utolsó számjegy páros kell, hogy legyen.

Ennél rövidebben nem tudod megúszni.

Jobban meggondolva van egyszerűbb megoldás is; az első 6 számjegyet 5*6*6*6*6*6=5*6^5-féleképpen lehet felírni. A 7. számjegynek a következőket kell tudnia:

-párosnak kell lennie

-a korábbi számjegyek összegét 3-mal oszthatóvá kell kiegészítenie.

Az előbbi számjegyek szerint így tudunk gondolkodni;

-ha a számjegyek összege osztahtó 3-mal, akkor az utolsó helyre 0-t vagy 3-at választhatunk, viszont csak a 0 a páros,

-ha a számjegyek 3-as maradéka 1, akkor utolsónak 2-est vagy 5-öst választhatunk, de a 2-es csak ami páros.

-ha a számjegyek 3-as amradéka 2, akkor 1-est vagy 4-est választhatunk, de megintcsak a párosság miatt a 4-es mehet a végére.

Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy mindegy, hogy mi az első 6 számjegy felállása, az utolsó helyre mindenképp csak 1-féle választásukn van.

Tehát 5*6^5*14=5*6^5-féle 6-tal osztható hétjegyű számot tudunk konstruálni.