45! 3-nak hanyadik hatványával osztható?

Konkrét megoldást szándékosan nem adok, de a lentiek alapján te is meg tudod oldani. Meg kell nézni, hogy 1-től 45-ig mely számok hányszor oszthatóak 3-al, és ezeket összeadni.

Pl.:

18! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18

Amelyik tényező osztható hárommal, azt bontsuk fel:

18! = 1 * 2 * [_3_] * 4 * 5 * ( 2 * [_3_] ) * 7 * 8 * ( [_3_] * [_3_] ) * 10 * 11 * ( 4 * [_3_] ) * 13 * 14 * ( [_3_] * 5 ) * 16 * 17 * ( 2 * [_3_] * [_3_] )

Ez összesen 8 darab 3-as a szorzatban, így 18! osztható 3-nak a 8. hatványával.

18! = 3⁸ * 1 * 2 * 4 * 5 * 2 * 7 * 8 * 10 * 11 * 4 * 13 * 14 * 5 * 16 * 17 * 2

És valóban:

18! = 6 402 373 705 728 000

18! / 3⁸ = 975 822 848 000

18! / 3⁹ = 325 274 282 666.666…

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Ugyanezt kell megcsinálni, csak 45-ig kell megnézni, hogy a 3-mal osztható tényezők prímtényezős alakjában összesen hányszor és hányadik hatványok szerepel a 3-as.

Csináld meg 45-ig az összes szám prímtényezős felbontását (elég lesz elgondolkodni rajta)!

45-ig van 15db 3-mal osztható szám, és 5 ami 9-cel (3*3-mal), és 1, ami 27-tel (3*3*3, azaz maga a 27). A 3-mal oszthatókban ugyebár 1db 3-as prímtényező van, a 9-esekben 2db, a 27-tel oszthatóban 3. Mivel a 9-es tényezőkből 1 benne van a 3-asokban is, a 27-tel oszthatóban pedig az előző kettő, így összesen 15+5+1=21db 3-as prímtényező lesz a 45!-ban. Azaz a 45! osztható lesz 3^21-nal (és nem lesz osztható 3^22-nel).