Segitenetek egy matematika feladatban amire nem jottem meg eddig ra?

b=1-a, ezt behelyettesítve:

a^3+b^3=a^3+(1-a)^3=3*a^2-3*a+1 másodfokú fv, képe felfelé nyitott parabola, így minimumhelye van 3/(2*3)=1/2-nél, ott a fvérték=1/4, ami kellett.

Először úgy áltam hozzá, kiváncsiságból, hogy az előző Válaszoló által kihozott

3a² - 3a + 1

kifejezést elküldtem az a Wolfram ALpha-nak, hátha beugrik valaami ötlet arról, amit rajzol, ír.

Ami rögtön látszik az ábrából: közvetlenül az eredeti képletnél a megoldóképlet nem használható (legfeljebb annak egyes részkifejezéseire), ezt a Wolfram Alpha ábrája mutatja is: a parabola még csak nem is érinti az x tengelyt.

Mindenesetre a Wolfram Alfa képletei, átalakítás-javaslatia többféle lehetséges átalakításra is felhívták a figyelmemet. Az egyik a ,,teljes négyzetté való kiegészítés'', a másik a polinomok szorzatára való felbontás. Mind a két megközelítés nagyon érdekes:

1) a teljes négyzetté való kiegészítés révén önállóan is meg lehet oldani a feladatot, még csak ábrázolásra sincs szükség. Ez tehát egy ,,tisztán'' algebrai megoldás, csak képletekre, algebrai átalakításokra van szükség, semmiféle geometriai érvelésre nincs szükség. Ennek a megoldásnak a tsztasága, egységessége és a meglepő kifejezőereje az érdekes.

2) szorzattá bontás (ha úgy tetszik, polinom-tényezők szorzatára való felbontás) révén lehet egy olyasféle megoldási módot is követni, amilyet az Általad megadott feladat kér: vagyis afféle ,,vegyes'' megoldást, amelyben algebrai és geometriai megfontolások egyaránt jelen vannak. Tehát: elkezdeni algebrai átalakításokkal a példa átfogalmazását, aztán pedig a parabola geometriából ismert tulajdonságaira való hivatkozás révén megadni a teljes választ. Ebben az az érdekes, ahogy a matematika különböző területeit kiaknázzuk (számolunk is, rajzolunk is, mindkettőt felhasználjuk).

Annyi közös előkészületet tegyünk meg (mindkét megközelítés számára), hogy a

3a² - 3a + 1

képletet ilyen alakba írjuk:

3⋅(a² - a) + 1

Ez tehát afféle ,,közös előkészület''. Azt is érdemes észrevenni, hogy az

3⋅(a² - a) + 1

kifejezés pontosan akkor vesz fel minimális értéket, amikor az

a² - a

is minimális. Világos: a teljes képlet nem más, mint a részképlet háromszorosa, és még eggyel növelve, tehát növekvés, fogyás, minimumhely szempontjából ,,ugyanolyan menet szerint'' viselkednek.

No ez lett volna a közös előkészület. Mostantól jön az elágazás: bemutatom mindkétféle lehetséges mogoldási módot. Nézzük most meg mindkettő megközelítést. Ahogy írtam, ezek közül a második lesz a Te általad említett feladat által kért szemlélet.

TELJES NÉGYZETTÉ VALÓ KIEGÉSZÍTÉS

[link]

3⋅(a² - a) + 1

Ahogy említettem, ennek mindjárt ragadjuk ki a meghatározó részét: a

a² - a

részképletet vesszük ,,kezelés alá'':

a² - a = (a - ?)²

Megpróbáljuk tehát az

a² - a

képletet úgy átírni, hogy

(a - ...)²

alakú legyen, ahol a ... helyén valami konkrét szám áll. Most már előrebocsátom: ezt az átalakítást teljességel nem lehetséges megcsinálni, ezért később kicsit enyhítem a kitűzést.

Addig is, nézzük mg ezt:

(a - ½)²

nézzük meg, jó lesz-e ez.

(a - ½)² = a² - a + ¼

tulajdonképpen egész jó. Majdnem sikerült a kitűzött

a² - a

képletet felírnunk (a - ...)² alakban, az egyetlen baj az az a kis ,,+ ¼''-es hiba. Nem baj, ez is jó lesz így, csak ne felejtsünk el ezzel a hibával korrigálni, ,,kiütni'' a ,,fölös'' +¼-et egy ,,kompenzáló'' -¼ hibakorrekcióval:

a² - a = (a - ½)² - ¼

látszik, hogy direkt levonjuk az ¼-et, mintegy ezzel ,,korrigálva a hibát''.

Most már az eredeti képlet

3⋅(a² - a) + 1

átalakítása sem nehéz:

3⋅(a² - a) + 1 = 3⋅[(a - ½)² - ¼] + 1 = 3⋅(a - ½)² - ¾ + 1 = 3⋅(a - ½)² - ¾ + ⁴/₄ = 3⋅(a - ½)² + ¼

Az a jó ebben az így elért

3⋅(a - ½)² + ¼

képletben, hogy ebből már ránézésre meg tudjuk mondani a választ a teljes kérdésre.

Milyen ,,a'' behelyettesítés esetén veszi fel a

3⋅(a - ½)² + ¼

kifejezés a lehetséges legkisebb értéket? Hát pontosam akkor, amikor a

(a - ½)²

kifejezés is a lehető legkisebbé válik.

Ez a kifejezés pedig nem más, mint valaminek a négyzete. A négyzet pedig sohasem lehet negatív (hiszen mind a pozitív, mind a negatív számok négyzete pozitív határozottan eredményt ad, egyedül csak a nullának a négyzete lesz az, ami nullát ad eredményül, minden más behelyettesítés viszont már pozitív számot ad).

Tehát a

(a - ½)²

részkifejezés lehető legkisebb értéke nulla, minden más esetben határozottan pozitív lesz. Ez a legkisebb nulla értéket pedig csak akkor veszi fel, ha a ,,négyzet alatt'' álló kifejezés maga is nulla:

a - ½ = 0

vagyis

a = ½

Az a := ½ behelyerttesítésre pedig az eredeti

3⋅(a - ½)² + ¼

kifejezés éppen a 3⋅0 + ¼ értéket veszi fel, vagyis éppen ¼-et. Minden más ,,a'-behelyettesítésre pedig ennél csakis nagyobb lehet, kisebb semmiképp. Tehát

3⋅(a - ½)² + ¼ ≧ ¼

és az eredeti, még át nem írt kifejezésre is persze ugyanez vonatkozik:

3a² - 3a + 1 ≧ ¼

Nohát ez lett volna az első megoldási mód (teljes négyzetté való kiegészítés). Ez tiszta algebrai eszközökkel megválaszolta a teljes kérdést, nem kellett görbét rajzolni, görbék alakjára, menetére, elhelyezkedésre hivatkozni.

SZORZATTÁ BONTÁS

Most nézzük a második megoldási módszert: szorzatá bontás (alacsonyabb fokú polinomokra való felbontás). Ez kissé ahhoz hasonlít, ahogy az összetett számokat prímszámok sorzatára bontjuk fel (faktorizáljuk). Csak most nem összetett számot, hanem másodfokú polinomot ,,bontunk fel'', és nem prímszámok szorzatára, hanem egyszerűbb (elsőfokú) polinomok szorzatára.

Ahogy például a 100-et felbonthatjuk a 2²⋅5² alakban prímek szorzatára, úgy az

a² - a

másodfokú polinomot is felbonthatjuk egyszerűbb polinomok szorzatára:

a² - a = a ⋅ (a - 1)

ezek az elsőfokú polinomok (,,a'' és ,,a - 1'') már külön -külön jól kezelhetőek. Az egyszerűbb polinomok viselkedéséből pedig következtetni tudunk az eredeti nehezebb, másodfokú polinom viselkedésére is.

Tulajdonképpen egyszerűbben szólva úgy is fogalmazhattam volna, hogy az

a² - a

kifejezésből ,,kiemelem'' az a-t, a szorzás összeadásra nézve disztibutív tulajdonságát kihasználva.

Ez alapján már könnyebben kezelhetővé válik a feladat (bár kapásból még ezután sem fogjuk tudni megoldani, de azért mégis sokat lépünk előre). Szóval a

3a² - 3a + 1

kifejezést, még a bevetetőben tett megállapodásnak megfelelően, először

3 ⋅ (a² - a) + 1

alakba írjuk. Aztán, az előbb említett felbontási trükköt használva, a kifejezés lelkét-magvát-szívét alkotó ,,a² - a'' részkifejezést ,,a ⋅ (a - 1)'' alakba írjuk, így az alábbit kapjuk a teljes képletre:

3 ⋅ a ⋅ (a - 1) + 1

nohát erre kell megmondanunk, mikor lesz a legkisebb, és hogy miből látszik, hogy ¼-nél kisebb semmiképp sem lehet.

Igazából, ha csak az érdekel minket, hogy mikor milyen ,,a''-behelyettsítésre lesz a lehető legkisebb, akkor elég a

a ⋅ (a - 1)

részét vizsgálnunk, hiszen ha ez is éppen ugyazokra az ,,a ''-behelyettesítésekre lesz legkisebb, mint a teljes képlet, hiszen e teljes képlet egyszerűen csak ennek a 3-szorosa, és 1-gyel való növelése.

Tehát mikor lesz az

a ⋅ (a - 1)

a legkisebb? Most itt ez nem látszik közvetlenül olyan jól, mint az előző megoldás esetében. Mindenesetre legalébb annyit azért ránézésre is láthatunk, hogy az

a := 0

behelyettesítésre az

a ⋅ (a - 1)

képlet értéke 0 ⋅ (-1) értéket veszi fel, vagyis 0-t.

Hasonlóképpen, az

a := 1

behelyettesítésre is az

a ⋅ (a - 1)

képlet értéke az 1 ⋅ (1 - 1) értéket vesz fel, vagyis 1 ⋅ 0-t, tehát itt is 0-t.

1-nél nagyobb ,,a''-behelyettesítés esetén az

a ⋅ (a - 1)

szorzat mindkét tényezője pozitív, tehát a szorzat pozitív értéket vesz fel.

0-nál kisebb ,,a''-behelyettesítés esetén az

a ⋅ (a - 1)

szorzat mindkét tényezője negatív, tehát a szorzat megintcsak pozitív értéket vesz fel.

Ha az .a'' helyébe olyan értéket helyettesítek be, ami 0 és 0 közé esik, akkor az

a ⋅ (a - 1)

szorzat első tényezője (a) pozitív, második tényezője (a - 1) negatív. Tehát olyan szorzatról van szó, amelynek egyik tényezője pozitív, másik negatív. Pozitív szám megatív számmal való szorzata negatív.

Ezek alapján durván már el tudjuk képzelni annak a ,,menetét'', hogy az egyes lehetséges ,,a''-behelyettesítésekre milyen előjelű értéket vesz fel az a ⋅ (a - 1) kifejezés. A menet, legalábbis előjelre pontosan, így néz ki: pozitív, nulla, negatív, nulla, pozitív. Ezt úgy kell érteni, hogy a két zérushely éppen a 0 és 1 helyen van.

Láthatjuk, hogy az

a ⋅ (a - 1)

szorzat a lehető legkisebb értékét VALAHOL a 0 és 1 KÖZÖTTI a értékre veszi fel: nyilván, hiszen eleve csak itt vesz fel negatív értéket, tehát a legkisebb nyilván csak itt lehet. De pontosan hol van ez a minimunhely a 0 és 1 között?

Tulajdonképpen megspórolhattuk volna ezt az egész előjeles esetszétválogatást. Ehelyett rajzolgathanánk is egy kicsit, szóval éppen itt elővehetnénk elő az emlegetett geometriai érvelést (amire a feladat szövege diret utalt is). Szóval emlékezzünk csak rá, hogy az, hogy az ,,a ⋅ (a - 1)'' kifejezést tulajdonképpen eredetileg az ,,a² - a'' átalakításából kaptuk. Márpedig az

a ↦ a² - a

hozzárendelés parabolát határoz meg, méghozzá felfelé nyitott (és ,,álló'') parabolát, hiszen a másodfokú tag, a² pozitív együtthatóval van véve, éppen 1-gyel, ki sem kell írni. (Összhasonlításképp megemlítem, hogy az a ↦ -a² - a kifejezés pedig ,,lefelé nyitott parabolát határozna meg).

Arra még emlékezzünk az előző érvelésből, hogy az ,,a ⋅ (a - 1)'' alakból már előzőleg sikeresen leszűrtük, hogy a kifejezésnek éppen két zérushelye van (vagyis a 0 és az 1 pontban metszi az x tengelyt). Ha ehhez hozzávesszük azt a geometriai megfontolást, hogy a a parabola ,,felfelé nyitott'' (és persze nem is ,,áll ferdén''), ezért egy ábrára pilantva rögtön láthatjuk, hogy a minimuma épp a két zérushelye KÖZÖTT van, vagyis a két zérushely számtani közepét véve, épp a minimumhelyet kapjuk (ahol a parabóla ,,csúcsa'' van''):

a² - a, másképp írva a ⋅ (a - 1)

minimuma éppen 0 és 1 között ,,félúton'' áll, ez persze az az ½: hát ½ épp a 0 és az 1 a számtani közepe:

⁽⁰⁺¹⁾/₂ = ½

Erre az

a := = ½

behelyettesítésre az

a² - a, másképp írva a ⋅ (a - 1)

kifejezés a -¼ értéket veszi fel (a kettő közül bármelyik képletbe behelyetesítve megkapjuk, a második talán egyszerűbb).

Azt már megbeszéltük még a bevezetőben, hogy az ,,a² - a'' részkifejezés minumumhelye egyben a teljes, eredeti

3⋅(a² - a) + 1

kifejezés minimumhelyét is jelenti, hiszen ez a két kifejezés ugyanazokra a behelyettesítésekre lesz minimális.

Tehát a

3⋅(a² - a) + 1

kifejezés is az

a := = ½

behelyettesítésre veszi fel legkisebb értékét, Ki is számolhatuk, mennyi lesz ez a lehető legkisebb érték:

3⋅(-¼) + 1 = -¾ + 1 = 1 - ¾ = ⁴/₄ - ¾ = ⁽⁴⁻³⁾/₄ = ¼

vagyis, összegzésképp itt is elmondhatjuk, hogy az eredeti kifejezésre valóban teljesül a feladatban említett

3 ⋅ (a² - a) + 1 ≧ ¼

egyenlőtlenség.

Bocsánat, éppen az maradt ki, amire mindvégig hivatkoztam: a Wolfram Alpha ábrája, és átalakítás-javaslatai:

[link]

Most vettem csak észre a feladat szövege azt a megkötést is előírja, hogy

a > 0

b > 0

a + b = 1

Ebből következik, hogy az ,,a'' lehetséges értékeire az alábbi megszorítás áll fenn:

0 < a < 1

Ezt majd értelemszerű módon figyelembe kell venni a megoldás felírásánál. Az érvelés nagy részét azonban továbbra is meg lehet említeni, legfeljebb a megszorítások figyelembevételével. Azt pedig külön meg kell fontolni, hogy a végeredmény számértékeit (minimumhely = ½, hozzá tartozó minimumérték = ¼) a megszorítás nem befolyásolja.