Létezik ilyen szám?

Az n^(2n)-nek [lg(n^(2n))]+1, az (n!)^2-nek [lg((n!)^2)]+1 darab számjegye van, ahol az [] az alsó egészrészt hivatott jelölni. Értelemszerűen ennek a kettőnek a különbsége kell, hogy legyen 100 millió:

[lg(n^(2n))]+1 - ([lg((n!)^2)]+1) = 100.000.000, vagyis

[lg(n^(2n))] - [lg((n!)^2)] = 100.000.000

Ha a törtrészt nem hagyjuk el, akkor minimálisan változhat a különbség ehhez képest; az biztos, hogy 99.999.999-nél több és 100.000.001-nél kevesebb lesz, tehát:

99.999.999 < lg(n^(2n)) - lg((n!)^2) < 100.000.001

Középen használjuk a logaritmus azonosságait és osztunk 2-vel:

49.999.999,5 < lg(n^(n)/n!) < 50.000.000,5, ebből

Azt kell megnézni, hogy ebbek az egyenlőtlenségnek van-e megoldása. Ha nincs, akkor az eredeti problémának sincs, ha pedig van, akkor csak azok lehetnek, amiket kaptunk, de még azok sem biztosan.