Van-e olyanra példa, hogy 10 db egymást követő prímszám összege kerek szám?

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Összege kereken 139

Ez egy bizonyításra-cáfolásra érdemes sejtés.

Én érzésre arra tippelnék, hogy nincs olyan prímszám sor, aminek összege tíz hatványa lenne, de csípőből nem tudom bizonyítani.

Morfondírozok rajta.

Prímekkel kapcsolatos érdekességek vannak ezen az oldalon, fel is lehet tenni megvizsgálandó kérdést, például ez is oda passzoló lenne.

[link]

#2 ez egy baromság, a végtelenség semmit nem garantál, és egy csomó tétel létezik olyan dolgokra hogy x tulajdonság végtelen tartományon sem áll elő soha, vagy konkrétan kiszámolható, elhanyagolhatóan kicsi p valószínűséggel áll elő.

Kérdező, én ezt úgy próbálnám megközelíteni, hogy a 10^k egész esetén 10^(k-1) nagyságrendű prímek állíthatják elő az összeget. A prímszámsűrűség a nagyságrend függvényében ismert, abból a 10^k-hoz legközelebb eső összeg 10^k-tól való eltérésének szórása számolható. A belehibázás valószínűsége megintcsak számolható a szórásból, és ez szummázható k=1-től végtelenig. Ha a végtelen szumma divergens, akkor szinte biztosan létezik ilyen (hacsak nem zárja ki valami számelméleti tulajdonság: pl 10^k + 1 a páratlansága miatt nyilván nem állhatna elő soha). Ha nem divergens, akkor van határértéke, ami a sikeres sorozatok számának várható értéke. Ha ez mondjuk 5, akkor elég valószínű hogy van ilyen, ha 0.000001123 akkor meg nem valószínű.

Na, kiszámoltam. Vegyük az összes 10 egymást követő prím összegéből képzett sorozatot. Ezek különbségei mindig prím(n) - prím(n-10). Két 10-zel eltolt prím különbsége kb. az adott nagyságrendnél vett prímritkaság (két egymást követő prím átlagos különbségének) 10-szerese. A prímritkaság t környezetében ln(t), tehát 10*ln(t)-ket ugrik a sorozat.

10^k közelében 10*ln(10^k) = 10*k*ln(10) ≈ 23*k. Így minden lépésben 2/(23*k) eséllyel hibázunk bele a 10^k összegbe, (a 2x-es szorzó azért, mert páratlan számokat soha nem érint az összeg).

Szumma 2/(23*k) divergens (ugye ez a híres 1/x, a "legkisebb" divergens függvényosztály egy példánya), tehát hacsak nem zárja ki valami obskúrus számelméleti kritérium, szinte biztosan van ilyen. Azért ne reménykedj, hogy otthon rábukkansz egy ilyenre, ugyanis k=3-tól 1000-ig is csak 0,52 a szumma értéke, tehát simán lehet hogy nincs ilyen 10^1000 alatt. És az 1-et k=300000 környékén lépi át, tehát 10^300000-ig várhatóan csak 1-et találsz (persze az se garantált).

Tök jó kérdés volt amúgy!

bocsánat, tényleg. :D

Vázlatos olvasás. :D