Pista összeadott 7 egymás követő pozitív egész számot. A kapott ősszegről azt állítja, hogy prímszám? Bizonyítsuk be, hogy tévedett!

Ha az első szám páratlan, akkor az utolsó is páratlan, a többi páros, így ha ezeket összeadjuk, akkor az összegük is páros, tehát biztos, hogy osztható (legalább) 2-vel, vagyis nem lehet prím.

Ha pedig páros számmal kezdődik a sorozat, akkor az utolsó szám is páros, és bennük 3 páratlan van, vagyis az összegük is páratlan. Ilyenkor viszont a számok összege osztható lesz 3-mal, mivel a számjegyek összege 3.

Ez óriási, ezt már megkérdezte itt valaki egy héten belül, jó látni, hogy mindenki ugyanabból a könyvből tanul :D akkor csak tippet adtam erre a megoldásra, most kiírom az egészet.

A hét nem érdekes, az általános példát igazán egyszerű megoldani:

Induljunk el egy "a">=1 egész számtól, és addjunk össze "n" > 1 számot: a + (a+1) + ... (a+n-1) = n*a + n*(n-1)/2

Ha (n-1)/2 egész szám akkor az egész osztható n-el. n>=3 páratlan számokra ez igaz lesz. a+n a maradék, n>1 tehát a maradék nagyobb 1, találtunk egy osztópárt amire mindkettő nagyobb 1, tehát ebben az esetben nem kapunk prímszámot.

Ha n páros akkor viszont n/2 -vel osztható az egész mindenség, a maradék 2a+n-1 ahol 2a>=2, n-1>0 tehát 2a+n-1>=2 tehát nem lehet 1. Tehát ha n/2>1 akkor ez megint nem lehet prím.

Tehát ha n>2 akkor nem kapunk prímszámot, ha viszont n = 2 akkor nyilvánvalóan minden páratlan prím felírható (p/2)+-1/2 alakban amelyek láthatóan összegük prím és egymás utániak.