Hogy bizonyítom be hogy x^2+y^3=z^4 egyenletnek nincs megoldása a pozitív prímszámok körében?

Értelemszerűen páratlan+páratlan=/= páratlan, tehát a 2 mindenképp ott van valahol.

Kezdjük a legegyszerűbbel: ha z=2:

x^2+y^3=16

Itt x lehetséges értékei: 2;3, egyik sem megoldás.

Ha y=2:

x^2+8=z^4 /-x^2

8=z^4-x^2 /azonosság miatt

8=(z^2+x)(z^2-x)

A 8-at a következő módokon tudjuk felírni 2 szám szorzatára:

1*8

2*4

Így fel tudunk írni két egyenletrendszert:

z^2+x=8 }

z^2-x=1 }

és

z^2+x=4 }

z^2-x=2 }

Egyiknek sincs egész megoldása.

Ha x=2:

4+y^3=z^4 /4

y^3=z^4-4 /azonosságból

y^3=(z^2+2)(z^2-2)

y^3 egyféleképpen írható fel két egész szám szorzataként:

1*y^3, így az egyenletrendszer:

y^3=z^2+2 }

1=z^2-2 }

Már a második egyenletre gyök(3)=z-t kapunk, ami nem sűrűn jó nekünk.

Tehát nem lehet megoldani a pozitív prímszámok körében az egyenletet.