Adottak az alábbi függvények és azok integráltjai. Megmagyarázná nekem valaki, hogy miért az az integráltjuk, ami?

Még mindig nem értem, hogy miért bűn kérdezni, és miért kell hülyének beállítani mindenkit, aki kérdezni mer...

A választ már megadták, de azért én is írok;

1) Első körben azt tanultátok, hogy az x^n polinom integrálja x^(n+1)/(n+1) + C, és ránézésre is szépen látható, hogy ez így van, csak deriválni kell. Később azt is láttuk, hogy ez a metódus minden valós n-re ugyanígy működik, leszámítva az n=-1 esetet, mivel akkor az eredményben 0-val kellene osztani, így sajnos arra másik megoldást kellett találni, és az 1/x függvény esetén az ln|x|+C eredményt találtuk.

Namost az 1/x^4 láthatóan x^n alakú, de az n nem -1, így a fenti képletet kell használni, nem az ln()-eset.

2) Az általad megadott függvény integrálja (e^2*x^2)/2 +C, de gondolom te az e^(2x) függvényre gondoltál. Azt tudjuk, hogy az e^x integrála önmaga+C, de ugyanez nem igaz az e^(2x)-re, mivel a két függvény nem ugyanaz. Itt több lehetőség is adódhat az integrálásra, de ebben az esetben egyszerűbb felírni a függvényt e^x*e^x alakban, ez szépen integrálható parciálisan, és mégcsak azon sem kell sakkozni, hogy melyik legyen az f és melyik a g függvény.

Hasonló módon lehet okoskodni az e^(2x)/2 deriválásánál is.

A későbbiekre érdemes megjegyezni; ha a tanultak alapján más eredmény jön ki, mint aminek kellene, akkor vagy elszámoltunk valamit, vagy az elv nem jó. Tipikus példa erre az (a+b)^2 esete; itt rendszerint az elv az szokott lenni, hogy tagonként elvégzik a hatványozást, így a^2+b^2 lesz belőle, csak ha az a és b helyére 1-et írunk, akkor 4=2 eredményt kapjuk, ami nyilván nem igaz, tehát az elv hibás volt. Ilyenkor keresni kell egy másik megoldási módot.

"e^(2x)/2 (azaz az e-n kívül minden a kitevőben van"

Ezt sajnos te értelmezted rosszul, mert a /2 a hatványra vonatkozik, nem a kitevőre. Amire te gondolsz, az az e^((2x)/2) lenne.

Abban viszont igazad van, hogy vannak itt naggggyon okos emberek (vagy legalábbis magukról nagyon azt hiszik).

"Rosszul írtad le. e^(2x)/2 (azaz az e-n kívül minden a kitevőben van) az igenis önmaga, mert ha 2-vel osztasz a kitevőben, akkor e^x-t kapsz"

Akkor tanuld meg használni a zárójeleket, és ne tegyél be értelmetlen konstans szorzókat.

Mellesleg e^(2x) integrálja nyilvánvalóan [e^(2x)]/2+konst. És a kettes osztó nem a kitevőben van! De ez még mindig nem jutott el a kicsi agyadig úgy látszik...

"Azaz (e^2x)/2 deriváltja 0 ha megnézed."

Már hogy a fenébe lenne 0 a derivált a teljes R-en te tudatlan?! A teljes R-en csak a konstans függvény deriváltja zérus! e^valami egy exponenciálisan növő fv. nem pedig konstans! Látszik mennyire buta vagy, mész a magad feje után, és semmit nem értesz a leírtakból...

"Még mindig nem értem, hogy miért bűn kérdezni, és miért kell hülyének beállítani mindenkit, aki kérdezni mer"

Nem bűn, de aki a saját butaságát terjeszti és fejlődésképtelen, azokkal nem tudsz mit kezdeni. Hiába mondasz ezeknek olyan dolgokat, hogy polinom, meg parciális integrálás, azt sem tudják mi fán terem. Aki még egy szorzatfüggvény deriválási szabályát sem ismeri, annak a parciális integrálás is kínai lesz. Pedig ha megtanulta volna az illető hogy (f*g)'=f '*g+f*g', akkor ebből már triviálisan adódna neki a parciális integrálás formulája.

De nem adódik neki, mert az alapokat sem érti...

Sőt ha visszamennénk a deriválás definíciójához, kiderülne hogy a határértékszámításról sincs fogalma.

A kérdező válaszai szerint pedig világossá vált, hogy még a hatványozással sincs tisztában, pedig az kb. hatodik osztályos tananyag még a mai lebutított szintű oktatásban is.

Akik ilyen alap dolgokkal, pl. algebrai átalakításokkal nincsenek tisztában, hogyan is taníthatnánk nekik analízist. Az alapvető matematikai ismeretek hiányoznak, a rutinról már nem is beszélek, mert az manapság már luxus.

Ha nem lenne számológép, ezek még a logarlécen is elvéreznének. Persze manapság már azt sem kell tudni mi az a logaritmus, az érettségizők 80%-nak fogalma nincs róla.

Másrészt egyéb megjegyzésem:

"de ebben az esetben egyszerűbb felírni a függvényt e^x*e^x alakban, ez szépen integrálható parciálisan"

Miért írja fel szorzatalakban, amikor ismerve a kompozíciófüggvény deriválási szabályát ránézésre látható az eredmény? Ha a*e^(b*x) alakú az integrandus, akkor kapásból látható hogy (a/b)*e^(b*x)+konst a primitív függvény. (feltéve hogy a és b állandó).

A parciális integrálás érdemi haszna nem az ilyen elemi példákban van, hanem pl. olyanoknál amikor az exponenciális fv. mondjuk polinommal szorzódik. Pl. (x^2)*e^(-x^2) 0-tól végtelenig.

Látni kell, hogy a parciális integrálás akkor alkalmazható előnyösen, ha a szorzatalakú integrandus egyik tényezője közvetlen (ismert eljárással) deriválható, másik tényező és az első tényező deriváltjának a szorzata pedig integrálható. A fenti, általam említett példában is ez a módszer a célravezető. Az persze más kérdés hogy alkalmazni kell még egy integráltranszformációt is, át kell térni egy kettős integrálra, és egyenlőtlenséget kell felírni, majd pedig az alsó és felső becslés egyenlőségét kell igazolni. Ezután már csak egy egyszerű rendőr-szabályt kell használnunk, amelyből adódik az integrál konvergens értéke.

De hiába is írom ezeket, úgysem érti a kérdező, fogalma nincs sem az integráltranszformációkról, sem a rendőr elvről, és ezek alkalmazási lehetőségeiről. Laplace-transzformációt, konvolúciót már említeni is kár, nem is hallott róla...

"Nem bűn, de aki a saját butaságát terjeszti és fejlődésképtelen, azokkal nem tudsz mit kezdeni. Hiába mondasz ezeknek olyan dolgokat, hogy polinom, meg parciális integrálás, azt sem tudják mi fán terem. "

Az 1)-esben feltett kérdése teljesen jogos, elvégre mindkét esetben 1/polinom alakú függvény van, így észszerűen következhetne, hogy ugyanazzal a szabállyal lehetne őket integrálni; például az almafáról úgy szedsz almát, hogy felmászol a fára és leszeded, a körtefánál meg semmi nem indokolja, hogy máshogy kellene eljárni. Az más kérdés, hogy ebben az esetben az almafát nem a körtefához kellett volna hasonlítani.

"Aki még egy szorzatfüggvény deriválási szabályát sem ismeri, annak a parciális integrálás is kínai lesz. Pedig ha megtanulta volna az illető hogy (f*g)'=f '*g+f*g', akkor ebből már triviálisan adódna neki a parciális integrálás formulája.

De nem adódik neki, mert az alapokat sem érti.."

Eddig nem derült ki, hogy ne tudná. De, ha abból indulunk ki, amit állandóan hangoztatsz, hogy az oktatás színvonala sehol sincs, akkor miért a diákok bűne, hogy nem tudnak (semmit)? És akkor még a képébe is vágod az embernek... Nyilván azt lehet mondani, hogy "ennek a megértéséhez ezt és ezt kell tudnod", de azt már kevésbé, hogy "ezt úgyse fogod megérteni, mert semmit sem tudsz".

"Sőt ha visszamennénk a deriválás definíciójához, kiderülne hogy a határértékszámításról sincs fogalma."

Ebben nem lehetsz biztos. Az viszont lehet, hogy anno megtanulta, utoljára az integrálszámítás bevezetésénél találkozott vele, azóta nem használta, és elfelejtette.

"A kérdező válaszai szerint pedig világossá vált, hogy még a hatványozással sincs tisztában, pedig az kb. hatodik osztályos tananyag még a mai lebutított szintű oktatásban is."

Abból, hogy valamit félreértett, nem következik, hogy ne tudna vele számolni. Persze nagy égés így önmagában is, de senki sem tévedhetetlen.

"Ha nem lenne számológép, ezek még a logarlécen is elvéreznének. Persze manapság már azt sem kell tudni mi az a logaritmus, az érettségizők 80%-nak fogalma nincs róla."

Sajnos a logarléc arra a sorsra jutott, mint igazából minden; lett helyette jobb, egyszerűbben használható eszköz, így természetes módon elavult. Kár is minden kérdésnél megemlíteni...

Azontúl pedig, mégis, honnan kellene tudniuk a használatát, ha egyszerűen SEHOL SEM tanítják? Gondolom, te sem úgy születtél, hogy tudtad használni, neked is valaki megtanította.

"Miért írja fel szorzatalakban, amikor ismerve a kompozíciófüggvény deriválási szabályát ránézésre látható az eredmény? Ha a*e^(b*x) alakú az integrandus, akkor kapásból látható hogy (a/b)*e^(b*x)+konst a primitív függvény. (feltéve hogy a és b állandó)."

Mint írtam, többféle megoldási mód is lehet, és te azt állítottad, hogy sem a kompozícióval, sem annak deriválási/integrálási szabályival nincs tisztában. Talán a szorzat deriváltja "még" megy neki, és ha igen, akkor láthatja, hogy miért az az integrál, ami.

Az pedig meglehet, hogy 40+ év gyakorlattal te kapásból látod, hogy mi az integrálja, de attól, aki csak most tanulja, azt ne várd el, hogy lássa...

Arról nem is beszélve, hogy sosem árt, hogyha egy feladatot több módon meg tudunk közelíteni.

"De hiába is írom ezeket, úgysem érti a kérdező, fogalma nincs sem az integráltranszformációkról, sem a rendőr elvről, és ezek alkalmazási lehetőségeiről. Laplace-transzformációt, konvolúciót már említeni is kár, nem is hallott róla..."

Nyilván, mivel a témakörrel csak most ismerkedik, de ezt is akkora bűnnek állítod be, mintha legalábbis embert ölt volna...

Nem értem, miért véded annyira a kérdezőt, annak ellenére hogy látod magad is mennyire buta.

"De, ha abból indulunk ki, amit állandóan hangoztatsz, hogy az oktatás színvonala sehol sincs, akkor miért a diákok bűne, hogy nem tudnak (semmit)?"

Talán azért, mert az oktatási szinvonal kétoldalú. Nem mindig a tanár a hibás. Az oktatás szinvonalát a tanár és a diák/hallagtó együttesen határozza meg. Épp olyan ez, mint egy szorzat, amelynek tényezői a hatásfokokat jelentik. Hiába tökéletes a tanár, ha a diák hozzáállása zérus, mert akkor a szorzat értéke is zérus lesz.

"Az viszont lehet, hogy anno megtanulta, utoljára az integrálszámítás bevezetésénél találkozott vele, azóta nem használta, és elfelejtette."

Ha elfelejtette, akkor nem is tanulta meg rendesen. Ha valamit rendesen megtanul az ember, akkor soha nem felejti el az alapelveket, az alapötleteket. Szerintem ha valaki a deriválás definícióját megtanulja, az a megértést is jelenti, nem pedig csak az egyfajta bemagolását a leírtaknak. Sőt 30év után is, aki érti a lényeget, önként fel tudja írni a definíciót, mert ez a logikus gondolkozás része kell hogy legyen. Jelöléstechnikától függetlenül persze. Nem a betűkben van a lényeg, hanem a mögöttes matematikai/fizika tartalomban.

"Abból, hogy valamit félreértett, nem következik, hogy ne tudna vele számolni."

Azért egy exponenciális fv. deriváltjára azt mondani hogy zérus a teljes értelmezési tarományon, és ezt kétszer hangoztatni több mint félreértés...

"Azontúl pedig, mégis, honnan kellene tudniuk a használatát, ha egyszerűen SEHOL SEM tanítják?"

Ha egy kis érdeklődése van valakiben, akkor egyszerűen utánaolvas. De ezeknek nemhogy érdeklődése nincs, még az alacsonyszintű kötelezettségeknek sem akarnak megfelelni.

"Arról nem is beszélve, hogy sosem árt, hogyha egy feladatot több módon meg tudunk közelíteni."

Egyetértek, de sajnos a baj az, hogy ezek még egyféleképpen sem tudják megközelíteni a példát, ami szomorú.

"Nyilván, mivel a témakörrel csak most ismerkedik"

Amíg nem tudja az alapvető algebrai átalakításokat, addig kár ismerkedni neki az integrálással. Úgysem fogjam se érteni, se alkalmazni, ez a jelen kérdezőnél is látható.

Igen, lehetne támogatom ezt az alkategória ötletet.

Mert azért az már tényleg a butaság csúcsa, hogy a természettudományok kategóriába kerülnek az ilyen 6.osztályos példák.

"Nem értem, miért véded annyira a kérdezőt, annak ellenére hogy látod magad is mennyire buta."

Alapvetően félreérted; nem mentegetem a kérdezőt (és úgy általában sem), mert igen, sok mindent nem tud, és olyat is, amit már illene tudnia. Már többször is leírtam, már ennél a kérdésnél is, de úgy látom, még mindig süket fülekre talál nálad, hogy egyszerűen úgy, ahogyan te viselkedsz az emberrel, azt nem engedheted meg magadnak. Azért, mert te járatos vagy a matematika sok területén, attól még azt nem kellene lenézned, aki nem. Pláne úgy nem, hogyha érdeklődően kérdez, de te mindenkit a "buta" kalap alá veszel. Csak azt nem értem, hogy ezt a stílust mi váltja ki belőled, hacsak nem téged is ezzel a pedagógiai módszertannal tanítottak.

"Talán azért, mert az oktatási szinvonal kétoldalú. Nem mindig a tanár a hibás. Az oktatás szinvonalát a tanár és a diák/hallagtó együttesen határozza meg. Épp olyan ez, mint egy szorzat, amelynek tényezői a hatásfokokat jelentik. Hiába tökéletes a tanár, ha a diák hozzáállása zérus, mert akkor a szorzat értéke is zérus lesz."

Ezzel teljes mértékben egyet tudok érteni, sőt, még azonosulni is. De azt ne felejtsük el, hogy az iskolai matek 99,99%-a nem nélkülözhetetlen a való élethez, ráadásul sokaknak tényleg annyira bonyolult, hogy átláthatatlan, ettől még senki sem lesz "buta". Ugyanez igaz a fizikára, a kémiára, a biológiára, stb. És biztosan mondható olyan tudományterület, ahol te lennél a "buta", és a megfelelő előképzettség és motiváltság hiánya miatt te is rossz néven vennéd, hogyha lebutáznának, merthogy az alapvető dolgokat sem tudod azon a területen.

"Ha elfelejtette, akkor nem is tanulta meg rendesen. Ha valamit rendesen megtanul az ember, akkor soha nem felejti el az alapelveket, az alapötleteket."

Ezek szerint akkor te az összes memoritert vissza tudod mondani, amit megtaníttattak veled, ennyi év távlatából is, és tudod a műelemzés módszertanát az elejétől a végéig. Felteszem, hogy pedáns voltál, és megtanultad.

Ha meg nem tanultad meg, mert nem érdekelt annyira, akkor "buta" vagy...

"Azért egy exponenciális fv. deriváltjára azt mondani hogy zérus a teljes értelmezési tarományon, és ezt kétszer hangoztatni több mint félreértés..."

Ezt nem tudom mire vélni... Amire ezzel reagáltál, azzal én a hatványozás ismeretét taglaltam. Hogy tudtad ennyire félreérteni? ...

"Ha egy kis érdeklődése van valakiben, akkor egyszerűen utánaolvas."

És ez, megint, miért is baj? ...

"De ezeknek nemhogy érdeklődése nincs, még az alacsonyszintű kötelezettségeknek sem akarnak megfelelni."

Biztosan te is tudod, de a követelmény az átlaghoz van igazítva. Attól, hogy te könnyen vetted az akadályokat, az nem jelenti azt, hogy "alacsony szintűek".

Azért érdekelne, hogy a te elméleted szerint 12. osztályig meddig kellene eljutnia a diákoknak. De vedd figyelembe azt is, hogy manapság nem ritka, hogy valakinek 10 órája van egy nap.