Egy állítás összesen csak 4 féle lehet?

Hát oké. Ugye arról van szó, hogy az állítások halmazát ki milyen diszjunkt halmazokra bontja fel. (lehetőleg úgy, hogy ez a köznapi igazságtartalom fogalmával valamilyen kapcsolatban álljon, de ez persze egyáltalán nem szükséges)

Szerinted a "holnap nyer a Barca" igazságtartalom szerint(?) ugyanolyan jellegű, mint a "most kék az ég".

Más szerint meg nem, hanem egyenesen másmilyen jellegű, és ezért 2 külön diszjunkt dobozba rakják ezt a 2 állítást.

Na de ez bölcsészet, ahhoz nem értek. A kocsmabölcsészet jó dolog, de ez ugye egy kérdés, és itt válaszolni kéne. Szóval kábé is fejezem.

Szerintem egy állítás normál esetben csak 2 féle lehet.

Igaz vagy hamis.

Pl: Holnap megyek dolgozni.

Ez lehet igaz vagy hamis.

Focimeccs.

Pl: A csapat B csapat ellen.

A csapat nyer? Igaz vagy hamis?

B csapat nyer? Igaz vagy hamis?

Döntetlen esetén (senki nem nyer)? Igaz vagy hamis?

A számitógép is igy működig. Igen vagy nem. 0 vagy 1.

Nincs olyan, hogy "talán (vagy igaz, vagy nem)".

Tegyük fel, hogy irtál egy programot, ami a meccset értékeli.

A program bekéri az eredményt.

Ha A nyert, akkor a program tovább fut és kiirja, hogy A nyert.

Ha B nyert, akkor a program tovább fut és kiirja, hogy B nyert.

Ha döntetlen, akkor a program tovább fut és kiirja, hogy döntetlen lett.

Ha A csapat nyert:

A csapat nyert? Igaz

B csapat nyert? Hamis

Döntetlen? Hamis

Ha B csapat nyert.

A csapat nyert? Hamis

B csapat nyert? Igaz

Döntetlen? Hamis

Ha döntetlen.

A csapat nyert? Hamis

B csapat nyert? Hamis

Döntetlen? Igaz

A "vagy igaz, vagy hamis", az nem állítás hanem feltételezés.

Elemi kijelentésnél induljunk ki abból, hogy valami vagy igaz, vagy nem. Ez úgy első blikkre jó lesz, hiszen valami vagy megfelel a valóságnak és igaz, vagy nem felel meg, így nem igaz. Tehát a kiindulópontban kétféle igazságértéke lehet egy kijelentésnek. Most a paradoxonra való rátalálás jön, ami lehet, hogy közismert, unalmas, de azért nézzük végig, mert a végén érdekes következtetést fogunk belőle levonni:

Oké, vegyünk egy asztalt, húzzunk rá egy vonalat, bal oldalra kerülnek a hamis mondatok, jobb oldalra az igaz mondatok. A mondatok kártyákra vannak írva. Jól is megy minden, amíg nem jön egy kártya, amire az van írva „Ez a kártya a bal oldalra kerül.” Oké, megpróbáljuk letenni a bal oldalra. Csakhogy a bal oldalon a hamis állítások vannak, a mi kártyánk meg most a bal oldalon van, az állítás igaz, ergo a kártyának semmi keresnivalója nincs a bal oldali, hamis állítások között. Oké, megpróbáljuk letenni jobb oldalra. Akkor megint nincs jó helyen a kártya, hiszen a jobb oldalon az igaz állítások vannak, a kártya meg hamis állítást tartalmaz, hiszen nem a bal oldalon van a kártyánk.

Ugye ez az alap paradoxon. De vigyázat! El ne kövessünk egy hibát! A hiba amit elkövethetünk, ha azt mondjuk, hogy akkor ezek szerint háromféle igazságértéke lehet egy kártyára írt mondatnak. Miért?

Oké, most háromfelé osztjuk az asztalt, balra kerülnek a hamis mondatok, középre a paradoxonok, jobb oldalra az igaz mondatok. Jön ugyanaz a kártya, „Ez a kártya a bal oldalra kerül.”

1. Letesszük a bal oldalra. A mondat így igaz. Az igaz mondatoknak meg jobb oldalon van a helyük, tehát a kártya nincs jó helyen.

2. Letesszük a jobb oldalra. Így a mondat hamissá válik. A hamis mondatoknak meg a bal oldalon a helyük, tehát a kártya nincs jó helyen.

3. És itt jön a csavar. Letesszük középre. Csakhogy így az állítás megint csak hamis lesz (a kártya nem a bal oldalon van). Mondom !hamis! lesz az állítás. A hamis állításoknak meg a bal oldalon a helyük, nem középen. Ergo a kártya itt sincs jó helyen.

Akárhány részre is osztod az asztalt, a dolog működni fog. Ha bal oldalra teszed, akkor igaz lesz a mondat, és a jobb oldalon lenne a helyen. Ha nem a bal oldalra teszed, hanem akárhova máshova – akár szorongathatod a kezedben is –, a mondat határozottan hamis lesz, ergo le kellene tenni a bal oldalra.

Ergo az, hogy valami paradoxon, az nem egy harmadik igazságérték. A paradoxon egy egészen más tulajdonságot takar. Vannak paradoxon és ellentmondásmentes állítások. Az utóbbiaknak van igazságértékük. A paradoxonoknak viszont nincs igazságértékük. Nem „paradoxon” az igazságértékük, hanem nincs nekik igazságértékük.

Ergo marad a két igazságérték: igaz, hamis.

Lehet olyan állítás, ami lehet igaz is, hamis is. Elemi mondatnál mondjuk egy „Ez a kártya a jobb oldalra kerül” ilyen. Ha jobb oldalra teszem, akkor a mondat igaz, és jó helyen van a jobb oldali, igaz mondatok között. Ha bal oldalra teszem, akkor a mondat hamis lesz, és jó helyen van a bal oldali, hamis mondatok között. Ergo ez nem teszi szükségessé az, hogy azt a bizonyos asztalt ne két, hanem háromfelé vágjuk. Vagy ha úgy tetszik, akkor itt a két oldal egymásra lóg, de továbbra is két oldal marad.

Összetett állításnál már lehet egy mondat részben igaz, részben hamis. De ott már sokféle egyéb kombináció is előfordulhat. Teszteknél elő is szokott fordulni, mikor van két kijelentés, és közöttük egy viszony. Pl.: „A víz szobahőmérsékleten, légköri nyomáson folyékony, ezért a víz 100°C-on forr.”. Itt lehet olyan is, hogy „mindkét állítás igaz, de az összefüggés nem”, meg lehet olyan is, hogy „mindkét állítás igaz, és az összefüggés is”.

Az megint más kérdés, hogy a matematikában pont az ilyenek miatt kellett elvetni a naiv halmazelméletet, mert minden valamirevaló elmélettől elvárt, hogy ellentmondásmentes legyen. Ennek feloldására mindenféle egyéb halmazelméletek jöttek, amiben egy ilyen kijelentés – „ez a mondat hamis” – érvénytelen, nem megengedett állítás, mert egy kijelentés nem hivatkozhat önmaga igazságértékére. Így lehet persze egy konzisztens elméletet adni, csak ez nem tud foglalkozni az ilyen jellegű állításokkal.

Pedig meglepően sokszor mondunk olyan mondatokat, amelyekben ilyen önhivatkozó állításokat írunk le. Pl.: „Ha nem tévedek, akkor ma csütörtök van.”. Vagy: „Ebben a válaszomban nem használtam felkiáltójelet.”. Vagy: „Igazat mondok.”.

a testaxiómákból sem dönthető el, hogy egy test karakterisztikája mennyi)

Ilyenkor az van, hogy létrehozunk 2 új axiómarendszert, az egyikben az állítást, a másikban a tagadását tesszük fel igaznak.

(Bizonyos értelemben egyébként ezek az állítások kimérhetők. Mármint hogy a valóságra melyik axiómarendszerrel alkotott modellek passzolnak jobban. Az például evidens hogy egy bot hosszúságaihoz valami rendezett test tartozik (R,Q), és nem mondjok F_3.

Ugyanígy, nem lennék meglepve, ha ZFC+CH vagy ZFC-CH (kontinuum hipotézis) alapján eltérő jóslatokat adó fizikai modelleket lehetne kiépíteni (majd valamikor), és ki lehetne mérni hogy melyik 'igaz'. )

... a matematikai tételekről érdemes tudni, hogy nagyon speciális körülmények között működnek csak. Gödel tételének állítása általában nem igaz akkor, amikor nem olyankor alkalmazod, hogy teljesülnek a tétel feltételei.