Sorozatok határértéke?

Nagyon kevered a fogalmakat. (Sorozatnál mi az az x? )

Javasolok egy videót: https://www.youtube.com/watch?v=GbUWxxi3rz4

Maga a "lim" csak egy operátor, olyan, mint például a "+"; egy jelölés, amihez rendelünk egy parancsot, és aszerint számolunk. Hogy mi tart mihez, az attól függ, hogy melyik ismeretlenre vagyunk kíváncsiak, vagyis ha az tart valahova, akkor milyen értéket/függvényt kapunk. Általában sorozatoknál n az ismeretlen, tehát azt írjuk, hogy "n tart valahova".

Könnyedén meg lehet adni olyan sorozatot/függvényt, amelynek felső korlátja a határérték, például az (n-1)/n sorozatnak a végtelenben a határértéke 1, és ez felső korlát lesz, mivel minden n-re (n-1)/n<1 teljesül. Ugyanígy 1 a határértéke az (n+1)/n-nek, csak ennek az alsó korlátja lesz az 1, mivel (n+1)/n>1 teljesül. Olyat is meg lehet adni, hogy a határérték nem korlátja, például a sin(n*(π/2))/n sorozat a végtelenben 0-hoz tart, viszont például n=1-re az értéke 1, n=3-ra -1/3, tehát értelemszerűen a 0 nem lesz korlátja.

A sorozatok számértékek egymásutánja. Ha véges számú számot tekintünk, akkor az egy véges sorozat. Ha a sorozat elemeinek száma nem véges, akkor végtelen. Egy sorozatnál azt szokták megkérdezni, ha egyre tovább haladunk benne, van-e valamilyen szabályszerűség. Egyes esetekben nincs, más esetekben pedig létezik olyan jól meghatározott érték, amelyhez a sorozat, ahogy haladunk benne, egyre inkább közelít.

Sorozat például, ha az 1 és 2 számokat felváltva egymás után írjuk. Ekkor nincs olyan érték, ahová ez a sorozat tart.

sorozat a természetes számok egymásutánja is. Erről azt mondjuk, hogy a végtelenbe tart. Ez azt jelenti, hogy ha mondunk egy akármilyen nagy számot, akkor van a sorozatnak egy olyan eleme, amelytől kezdve az összes többi sorozatelem ennél a számnál nagyobb.

Sorozat lehet olyan, hogy egy konkrét számot közelít meg tetszőlegesen. Ez viszont azt jelenti, hogy bármilyen kicsi számot mondunk, a sorozatnak lesz olyan eleme, hogy az összes továbbinak a konkrét számtól (a határértéktől) való eltérése mindegyik esetben kisebb, mint a megadott szám. Ezeket a sorozatokat korlátos sorozatnak is nevezik. A sorozatnak azonban egyetlen eleme sem lesz egyenlő a határértékkel.

Sorozatnak van más tulajdonsága is. Lehet monoton. Ez azt jelenti, hogy minden elemre igaz, hogy a rákövetkező az előzőnél nem nagyobb (nem kisebb).

Sorozat felső korlátja azt jelenti, hogy tudunk mondani egy számot, amely a sorozat minden eleménél nagyobb, legalábbis egy bizonyos konkrét elemtől kezdve. Mivel egy monoton sorozat a határértékét mindig egy oldalról közelíti (például alulról), ezért ekkor a határérték egyben felső korlát is. A határértékkel rendelkező, úgynevezett oszcilláló sorozatok esetén is van felső korlát, de a határérték ekkor nem felső korlát.

A komment első mondata egy zavaros állítás a sorozatokról, és abban a formában értelmetlen. Először is a "limes x tart végtelenbe" egy f(x) függvény határértékénél használatos, és mindössze egy jelölése (írásmódja) annak a tulajdonságnak, hogy a függvény változóját egyre növelve a végtelenhez közelítjük, eközben mindig vizsgáljuk a függvény értékét. A sorozatnak indexe van, ezt úgy mondjuk, hogy "limes s(n), ahol n tart a végtelenbe". Ekkor az s(n) sorozatérték nagyságát vizsgáljuk.

Példa: tekintsd az y=1/x függvényt. Erről tudjuk, hogy ha x tart a végtelenbe, akkor a függvényérték felülről tart a nullához.

Ez tehát egy szigorúan monoton csökkenő függvény, határértéke +0. Itt a (+) azt jelenti, hogy a függvény felülről (a pozitív számokon keresztül) tart a határértékhez.

Most ezt a függvényt nézzük kizárólag az x egész számok esetén. Ekkor az s(n)=/1/n sorozatot kapjuk. De vehetnénk a páros számokat, ekkor s(n) = 1/2n. És vehetnénk az x változó bármely diszkrét sorozatát, akkor s(n) = y(x(n)). HA x-et nem szabályosan vesszük, akkor nehéz felírni zárt alakban, de ettől az még sorozat.

Tehát bármely függvényből úgy csinálunk sorozatot, hogy bizonyos diszkrét változóértékek sorozatát vesszük, és ezekhez hozzárendeljük a megfelelő függvényértéket.

Néha ez fordítva is megy, bizonyos sorozatokról meg lehet mondani, hogy milyen függvény diszkrét elemei. Például az s(n) = 1/n^2 sorozatról ránézésre látszik, hogy az y=1/x^2 függvény egész helyeken vett értékei.