A (n) sorozat tart végtelenhez, b (n) sorozat tart minusz végtelenhez, a (n) *b (n) tart minusz végtelenhez. Valaki le tudná írni a bizonyítását?

a feltételek egy ekvivalens megfogalmazása:

a_n -> inf:

: (tetszőleges A alsó korláthoz) (létezik N_A küszöbindex), hogy (n>N_A esetén) (a_n>A fennáll)

b_n -> -inf:

: (tetszőleges B felső korláthoz) (létezik M_B küszöbindex), hogy (n>M_B esetén) (b_n<B fennáll)

amit szeretnénk:

a_n*b_n -> -inf, vagyis:

: (tetszőleges F felső korláthoz) (létezik O_F küszöbindex), hogy (n>O_F esetén) (a_n*b_n<F fennáll)

Elég megkonstruálnunk ezt az O_F küszöbindexet. (a konstrukció egy, a_n-től, b_n-től és F-től függő függvény)

Egy jó O_F lesz az, hogy

O_F := N_(abs(F)+1) + M_(-abs(F)-1)

ennél nagyobb n indexekre a_n nagyobb mint abs(F)+1, b_n kisebb, mint -abs(F)-1.

a_n * b_n, a szorzatuk pedig kisebb, mint -(abs(F)+1)^2, ami kisebb, mint F, amit be akartunk látni. (F helyére x-et írva és ábrázolva ezt könnyen le tudod ellenőrizni).

QED