Ez a sorozat konvergens vagy divergens?

Itt úgy látom a szumma miatt, hogy SOR konvergenciájáról kell dönteni (bár definíció szerint ez is sorozat, a részletösszegek sorozata).

A hányados/gyökkritérium itt nem működik, mert a vizsgálandó határérték 1-nek adódna mindkét esetben.

Viszont megsejthetjük az eredményt onnan, hogy általában a

szumma 1/(n^k)

sor k>1 esetén konvergens, 0<k<=1 esetén divergens. Itt pedig a nevező "nagyjából" n^(3/2), tehát ez a sor konvergens lesz.

A pontos indokláshoz érdemes a majoráns kritériumot alkalmazni, ami azt mondja, hogy ha egy olyan sort tudunk megadni, aminek a tagjai nagyobbak, és még mindig konvergens, akkor az eredeti sor is konvergens.

Tehát itt az általános tag növeléséhez a nevezőt csökkenteni kell, és

(n+1)*gyök(n) > n*gyök(n) = n^(3/2),

tehát a majoráns kritérium miatt ha n^(3/2) konvergens, akkor a mi sorunk is.

Ez pedig ismert az elméletből, vagy ha nem tanultátok, akkor az integrálkritériummal lehet bizonyítani:

szumma a_n pontosan akkor konvergens, ha

integrál (0-tól végtelenig) a_n

létezik.

Tehát az

integrál (0-tól végtelenig) x^(-3/2)

improprius integrált kell kiszámítani, ez valóban véges.