Ha egy sorozat a végtelenbe/-végtelenbe tart, akkor az biztosan divergens?

a sorozat határértékének küszöbindexes definicióját alkalmazva dönthető el a kérdés.

ide másolom a határérték (konvergencia egy lehetséges definicióját.

Az { an } sorozat konvergens, ha létezik olyan A eleme R szám, hogy A bármely kicsiny epszilon környezetébe a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme bele tartozik. Azt hogy az A szám az { an } sorozat határértéke vagy limesze, a következőképp jelöljük: an→A vagy limn→∞ an = A .

Tehát, a kérdés második felével foglalkozva először, ha a nulla mármely kicsiny környezetébe nem tartozó véges sok elemet elhagyva továbbra is végtelen sok elem marad a sorozatban, akkor a sorozat konvergens, és határértéke nulla.

Ha valamely sorozat nem konvergens, akkor divergens. ebből következően az első rész is igaz.

Két fogalom az, hogy egy sorozatnak van határértéke, és az, hogy konvergens, vagy divergens.

A végtelen határérték létezik, de az oda tartó sorozatot divergensnek tartjuk.

A wikipédia megfogalmazásában (is) arról beszél, hogy "minden számhoz". A végtelen nem szám. A "minden szám" azt jelenti, hogy bármilyen nagy lehet, de mindenképpen véges. Ez nagyon fontos különbségtétel.