Ha a Föld üreges, gömbhéj szerkezetű lenne, a belsejében milyen irányú lenne a gravitáció?

#19:

a földön levõ tárgyak a súrlódás miatt forognának, ezért a centri erõ ott tartaná õket, nem szállnának fel

Számolgassunk. Tételezzünk fel, hogy az üreges Föld nagyon vastag. Mondjuk legyen a vastagsága a 6371 km-es sugárhoz képest 2371 km. (Minél vastagabb a héj, annál kisebb a levegővel töltött rész, annál nagyobb a centrifugális erő és annál kisebb a levegő gravitációja, tehát annál „optimálisabb” a kérdés szempontjából a helyzet.)

Ekkor ugye a gömbhéj része gravitációs szempontból olyan, mintha ott sem lenne.

Lenne egy 4000 km – 4 000 000 méter – sugarú gázbolygónk. Ennek a térfogata:

V = 4/3 * r³ * π = 4/3 * 4 000 000³ * 3,141593 = 2,679 * 10^20 m³

A levegő sűrűségének számoljunk egy normál levegő sűrűséget (ρ=1,2 kg/m³, és tekintsünk homogénnek a gömböt. Nem lenne az, de nagyságrendi számításhoz jó ez az egyszerűsített modell.

m = ρ * V = 1,2 * 2,679 * 10^20 = 3,215 * 10^20 kg.

Egy 1 kg-os testre a következő gravitációs erő hatna:

F = G * m₁ * m₂ / r² = 6,674 * 10^-11 * 1 * 3,215 * 10^20 / 4 000 000² = 0,001341 N

~ ~ ~

A centrifugális erő:

F = m * ω² * r

ω = 1/nap = 1/86400 * 1/s = 1,1574 * 10^-5 / s

F = 1 * (1,1574 * 10^-5)^2 * 4 000 000 = 0,0005358 N

Tehát még ebben az esetben is kisebb (39%-a) a centrifugális erő a gravitációs erőhöz képest, tehát továbbra is a Föld középpontja felé mutatna az eredő erő.

~ ~ ~

Ha kicsit még növelnénk a gömbhéj vastagságát, akkor lehet, hogy már a centrifugális erő lesz a nagyobb. De ez az erő még mindig elég kicsi a földfelszínen ható gravitációs erőhöz képest, tehát kvázi majdnem súlytalanság lenne. Ha még tovább növelnénk a gömbhéjat, az akkor meg meglehetősen kicsi lenne, elég kis felszín maradna az életre.

2*Sü rosszul írta.

A kéreg vastagságának változása adott méretű bolygó mellett a levegő térfogatának azaz tömegének változását jelenti, amely r^3-nel arányos. A ránk ható erő adott tömegnél azonban 1/r^2-tel arányos, vagyis a kettő szorzata azt mutatja, hogy a ránk ható erő végső soron r-rel arányos.

A centrifugális erő úgyszintén r-rel arányos, tehát tök mindegy, hogy mekkora a kéreg vastagsága, a középponttól adott távolságra a gravitációs és centrifugális erők aránya ugyanaz lesz, azaz 2*Sü levezetése alapján a gravitációs erő minden kéregvastagságnál győzni fog a centrifugális felett.

#27> 2*Sü rosszul írta.

Óh, korántsem gondoltam ám át igazán ezt a megállapítást. Természetesen igazad van, de azért oldjuk meg parametrikusan a dolgot, hogy képletek szintjén is látszódjon, mi fán terem a diófa, miért is jogos a kritikai észrevételed.

r := a gömb alakú üreg sugara

m := a test, amire nézzük, hogy mekkora erők hatnak rá.

M := a gömbben lévő levegő tömege

Fg := A Föld középpontja felé mutató gravitációs erő

Fc := A testre ható centrifugális erő

V = 4/3 * r³ * π

M = ρ * V

(Behelyettesítve V helyére a fenti képletet:)

M = ρ * 4/3 * r³ * π

Fg = G * m * M / r²

(Behelyettesítve a képletbe M-et:)

Fg = G * m * ρ * 4/3 * r³ * π / r²

(Egyszerűsíthetünk r²-el:)

Fg = G * m * ρ * 4/3 * r * π

Fc = m * ω² * r

Nézzük a gravitációs és centrifugális erő arányát: Fg/Fc. Helyettesítsük be a fentieket:

Fg / Fc = G * m * ρ * 4/3 * r * π / (m * ω² * r)

(m-el és r-el tudunk egyszerűsíteni:)

Fg / Fc = G * ρ * 4/3 * π / ω²

Ahogy látható, ebből a képletben – ami a gravitációs és a centrifugális erő arányát adja meg – valóban kiesett a sugár is, a test tömege is. Ami maradt az konstans (G, 4/3, π), illetve más paramétertől nem függő, a probléma szempontjából adott mennyiség: a levegő sűrűsége (ρ), illetve a Föld forgásának szögsebessége (ω).

Fg/Fc = 6,674 * 10^-11 * 1,2 * 4/3 * 3,14159 / (1,1574 * 10^-5)^2 = 2,504

Ergo a gravitációs erő valóban bármilyen sugár esetén 2,5-szerese lesz a centrifugális erőnek – függetlenül a belső üreg méretétől, és természetesen a vizsgált test tömegétől – , így az eredő erő mindig a föld középpontja felé fog mutatni.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

De ahogy az előző válaszban számolgattuk, egy 1 kg-os testre 0,0008052 N erő hatna, míg itt a Föld felszínén ugye ez F = m*g = 9,81 N. Ergo a gravitációs erő csak a 0,00821%-a lenne a földinek, tehát kvázi súlytalanság lenne. Ha az ember itt a föld felszínén egy bizonyos erővel felugrik mondjuk 30 cm magasra, az ott az üreges gömbben egy 3,65 km magas ugrásnak felelne meg, ergo majdnem a Föld közepéig fel lehetne ugrani.

Egyrészt eléggé kérdéses, hogy ilyen körülmények között mennyire maradhat fenn normális élet. Talán igen, de eléggé más lenne, mint a megszokott. Bizonyára nagyon nagy mozdulatok nem jellemeznék az állatokat, mert elég problémás lenne. Nagyon kis erővel kilométerekre lehetne elugrani, ami viccesnek tűnik, de az élet szempontjából nem túl praktikus.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Az is problémát jelenthet, ha a belső felszín nem szabályos gömb alakú, hanem mondjuk vannak hegyek. A levegő sűrűsége igen kicsi a kőzethez képest. Egy-egy hegy a belső légkör gravitációjához képest már jelentősebb gravitációval rendelkezhet, ami alapján igencsak változó gravitációs anomáliákkal találkozhatnának a belső föld lakói. Ha az izomrendszerük, életmódjuk ilyen kis gravitációra lenne berendezkedve, akkor egy-egy nagyobb tömegű hegyhez kerülve igen súlyos egészségügyi problémák is keletkezhetnek, hiszen az élőlények teste nincs felkészülve ekkora gravitációra.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Meg amit már előzőleg pedzegettünk, az egész rendszer összeomolna. Mert ugyan a belső felszínen a gravitáció nem nagy, de ahogy fúrunk kifele a Földből egyre nagyobb és nagyobb lenne a gravitáció. Ergo a belső felszínre igen nagy nyomás nehezedne, amit a belső felszín valószínű nem bírna ki, így a belső üreg egyszerűen összeroppanna.

Az meg csak hab a tortán, hogy egy ilyen bolygó létre sem tudna jönni természetes úton. Mesterségesen is eléggé elképzelhetetlen, XXI. századi technikával biztos nem, de szerintem XXV. századi technikával sem fog menni.